8高中数学精品讲座：想象与推理并重 几何与代数齐飞——2022年高考“立体几何”专题解题分析

想象与推理并重 几何与代数齐飞想象与推理并重 几何与代数齐飞2022年高考“立体几何”专题解题分析2022年高考“立体几何”专题解题分析主讲人：赵XX河南省许昌高级中学目录 试题特点分析 PART.1 行业PPT模板http:/ 体 分 析 立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系，是高中数学知识的重要组成部分，也是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要载体.2022年的高考数学试卷共有10份：全国甲卷 (文、理科)、全国乙卷 (文、理科)、全国新高考卷、全国新高考卷、北京卷、浙江卷、天津卷、上海卷.10份试卷涉及的立体几何试题，全面考查了空间中的平行、垂直关系的判断、推理和证明；同时空间角、距离、表面积和体积等基本量的计算仍是考查的重点.试题以考查立体几何的基础知识、基本方法、基本技能和基本活动经验为主线，结合生活实际，突出考查学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.整 体 分 析 在现有的10份数学试卷中，考查立体几何的试题共有26道题（文理科相同试题不累计），它们分布在试卷的第4题到第20题之间，其中16道选择题或填空题中2道涉及三视图，3道涉及空间角问题，3道涉及有关球的问题，5道涉及体积、表面积问题，2道涉及空间异面、平行、垂直关系的判定问题，还有1道与其他知识进行融合；10道解答题在设置上力求证明与求解并重，全方位考查学生的逻辑推理和数学运算等素养.对 比 分 析 与2021年相比，2022年高考全国乙卷、全国新高考卷立体几何试题在题量上仍保持“两小一大”，共计22分，全国甲卷文理科试卷和全国新高考卷立体几何在题量上由“两小一大”变为“三小一大”共计27分，全国新高考卷、卷延续了2021年立体几何多选题的设置，全国甲、乙卷的小题在考查内容和表述方式上文、理科完全相同，全国乙卷文、理科对应的解答题背景及第（1）小题完全一致，第(2)小题则因文、理科的要求不同而出现不同的设问，但全国甲卷的立体几何解答题文理科却采取了完全不同的背景材料.整体来看全国甲卷、乙卷和全国新高考卷、卷在立体几何知识的考查上基本保持稳定，题型搭配协调合理，其他各卷与全国卷情形一致.对 比 分 析 试卷选择题填空题解答题分值备注全国甲卷理 4、7 文 4、9、10理 15理 18 文19理 27 文 27理 15 与概率综合；文理解答题情境完全不同，文 19应用问题情境全国乙卷理 7、9 文 9、12文理 18理 22 文 22文科选择压轴；文理解答题为姊妹题新高考卷4、8、9（多选）19274 题为应用情境8 单选压轴新高考卷7、11（多选）2022解答题后移到 20北京卷91719上海卷1551723天津卷817208 题为应用情境浙江卷5、81923具 体 分 析 1.试题分布合理，难度稳中有升 2022年高考中的立体几何试题在考查立体几何主干知识的基础上，在题型、题量、分值、难度上分布合理，总体题量略有增加；全国新高考卷的解答题由19题移到20题，全国乙卷文、理解答题虽然都在18题的位置，但是推理中蕴含着运算，难度增大；16道选择题或填空题（文理科相同试题不累计）中有8道涉及体积或面积的计算，对数学运算、逻辑推理素养的考查表现的尤为突出，学生达成度较近年有所下降.具 体 分 析 2.考查重点突出，载体形式更加多样化 2022年高考中，立体几何试题考查的知识点覆盖了基本立体图形、三视图与直观图、表面积与体积、空间点、直线、平面之间的位置关系(平行与垂直、角度与距离)，以及利用空间向量解决立体几何问题等，覆盖面广；同时考查重点突出，集中在空间角与距离的求法、几何体面积与体积的计算等主干知识上；整体多以棱柱和棱锥为载体，但相比往年，考查载体形式更加多样化，如全国甲卷文科19题以包装盒体现的不熟悉的几何体为载体、新高考卷11题以切割柱体椎体后的多面体作为载体，浙江卷19题以“楔形体”为载体，天津卷8题以两个直三棱柱重叠后形成的“十字歇山”形为载体，对空间想象能力提出更高要求，表现出更大的灵活性，体现了高考命题由“有纲”到“无纲”的过渡，反映了高考命题向“题海战术”宣战的决心.具 体 分 析 3.结合生活实际，更多回归数学情境 全国甲卷以学生在参加综合实践活动中制作手工模型、新高考卷以南水北调工程中水库蓄水水位变化、天津卷以古代中国建筑屋顶样式之一的“十字歇山顶”作为试题情境，使学生感受到数学与生活密不可分，潜移默化地让学生体会到数学知识是有用的，考查学生的阅读理解能力以及直观想象、数学建模素养.但相对于往年，2022年高考立体几何更多回归数学情境，指向数学本质，在数学抽象、数学运算、逻辑推理素养的考查上更加浓墨重彩.下面主要以全国甲卷(文、理科)、全国乙卷(文、理科)、全国新高考卷、全国新高考卷，并兼顾地方卷的一些高考试题为例，进行立体几何高考试题的题例解法分析.题例解法分析 PART.2 行业PPT模板http:/ 文4/理4）如图1，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（图1（A）8（B）12（C）16（D）20 解法分析：能从三视图中发现几何体各元素之间的位置关系和数量关系，构建出空间直观图是本题的关键.由正视图为直角梯形，且上下边长之比为1：2，侧视图为正方形，俯视图为两个相同的正方形，且边长均为2，可推断该几何体为平躺的直四棱柱，且上下底面为直角梯形，由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.1.三视图，依据数量与位置关系、根据基本几何体结构特征还原出直观图例1（全国甲卷 文4/理4）如图1，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（图1（A）8（B）12（C）16（D）20类 题 赏 析 基于近年高考数学立体几何试题分析来看，源于教材的问题很多，如2018全国卷理7文9题利用空间几何体的三视图考查表面最短路径问题，2018全国卷文理第3题通过展示中国古代建筑中的榫卯结构考查空间几何体的三视图问题，2021全国乙卷文理16题，通过空间几何体的结构特征的考查三视图画法，体现了数学应用的模型思想，2022年浙江卷第5题通过分析组合体的三视图解决几何体体积的问题，很多都可以在新旧教材中找到相似的例子.在复习过程中，强调以下几点：(1)要明确三视图的形成原理，熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图；(2)注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，看到的部分用实线，遮挡的部分用虚线表示；(3)遇到由几何体的部分视图画出剩余的部分视图问题，可以先根据已知部分三视图，推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式，作为选择题，也可逐项代入检验；（4）特殊情况下可以运用转化化归思想把所求几何体放在长方体（或正方体）中思考.两点注意：（1）三视图不管是所谓“拔高法”还是“去点法”等等技巧方法都不具有普适性，提高空间想象能力，增强直观想象素养才是根本；（2）三视图问题研究能很好的培养学生空间想象能力，从新教材中去除的原因只是因为初中已经学过，不再重复学习。2022 年浙江卷 5某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的体积（单位：3cm)是（）.A22B8C223D1632.体积与表面积，基础扎实，灵活转化例 2（新高考 卷 11）如图 3，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，EDFB/，FBEDAB2 ，记三棱锥ACDE，ABCF ，ACEF 的体积分别为321,VVV，则()（A）322VV（B）31VV（C）312VVV（D）3123VV图3（方法 1）设M分别为边AC的中点，令22 FBEDAB，得342222131311 EDSVADC，由1:2:21 VV知322 V.而22 ACBD，3 FM，6 EM，3 EF，由222EFMFEM ，则22321 FMEMSEMF，故2313 ACSVEMF.或236222131313 MFSVEAC.显然，213VVV ，1332VV ，本题答案选择DC、.3V关键在于如何正确、快速的求出 的值.3V关键在于如何正确、快速的求出 的值.（方法 2）如图 4，取PHM、分别为边CEAEAC、的中点，得出点PHF、到平面ABCD的距离相等，均为BF的长度，故HPFMHPMFVV ，而HPMFVV 43，取2 AB，易 知2 HP，5 PFHF，23215221 HPFS，故H P MFVV 43H P FMV 42123314314 BFSHPF，即213VVV ，1332VV ，本题答案选择DC、.图 43V关键在于如何正确、快速的求出 的值.（方法 3）对题目中的几何体补形为正方体，如图 5 所示，设正方体棱长为 2，其体积为8222 ，易知：222)21(21313131GESENSVVKFAGKNCFKFAGEKNCFE梯形梯形，故22232348213KFAGEKNCFEVVVVVV正方体.即213VVV ，1332VV ，本题答案选择DC、.图5 3V关键在于如何正确、快速的求出 的值.（方法 5）如图 7，由题意知，可建立空间直角坐标系xyzD，取2 AB，则),0,2,0(),0,0,2(CA)1,2,2(),2,0,0(FE，则)0,2,2(),2,0,2(ACAE，取 平 面AC E的 法 向 量 为),(zyxn ，即 02202200yxzxnACnAE，可取1 zyx，即)1,1,1(n，由此可得：点F到平面ACE的距离为333|nnEFh|，故236222131313 hSVEAC.即213VVV ，1332VV ，本题答案选择DC、.312VVV关键在于如何转化直接得到 与 或 的关系，实现以证代求（方法 4）如图 6，连接体对角线DK，易证AEDK ，ACDK ，即 DK平面ACE，垂足记为O，由DKMF/，得 MF平面ACE，三棱锥ACDE 与三棱锥ACEF 有公共底面ACE，即MFDOVV:31，故3:2:31 VV.可得1332VV ，而1:2:21 VV，所以213VVV ，本题答案选择DC、.类 题 赏 析 求棱锥、棱柱及柱锥组合体的体积，一直是高考的一个热门考点.往往通过分割法、补体法、转化法等，也可以整体讨论，逆向思维分析.近年高考考查空间几何体体积、表面积的试题较多，但万变不离其宗，都是基本图形的变式.例如2007年重庆文、理科数学试卷第19题；2007年江西文、理科数学试卷第20题；2007年四川文、理科数学试卷第19题；2008年安徽理科数学第18题；2014年全国II卷理科数学第18题；2015年广东卷文科数学第18题；2015年湖南卷理科数学第19题；2019年全国I卷理科数学第19题；2019年全国II卷理科数学第18题；2020年全国I卷文科数学第19题；2020年全国II卷文科数学第20题；2021年全国I卷文科数学第18题；2021年全国II卷文科数学第19题等等，复习中应注意以下几点：（1）利用转化思想，转化顶点位置化难为易；（2）不规则几何体体积的计算，采用分割法会事半功倍;（3）试着把要研究的几何体放在正方体、长方体、正棱柱、正棱锥等特殊几何体中，提高类比思维能力、逆向思维能力以及整体思维能力等.试题分析：试题源自人教A版教材(2019年版)必修第二册第122页“探究与发现”柱体、椎体的体积，如图5所示.方法3的思路与教材中运用的思路如出一辙.由此可见，教材中的一些几何模型是高考命题的“题根”.因此，把握教材中的细枝末节，便可探寻命题规律，实现大道至简，贯通达的目标.3.有关球体问题，理清关系，建构函数模型例3（新高考 卷 8）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且33 3l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）（A）8118,4（B）27 81,44（C）27 64,43（D）18,27目标解析：本题涉及基本知识和基本方法包括正棱锥外接球模型与运用导数求函数的最值的方法及运用不等式求最值的方法.主要运用数形结合思想，函数与方程思想，转