空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计 【全国高中青年数学教师优质课公开课比赛教案】

1、空间向量的正交分解及其坐标表示浙江省温州中学 陈巴尔各位专家评委、老师们：大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸.我的课题是空间向量的正交分解及其坐标表示，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见.一、教学背景分析（一）教学内容解析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何的3.1.4节空间向量的正交分解及其坐标表示属于新授课.本章知识结构空间向量运算的几何表示（如平行四边形法则）空间向量的定义及其运算用空间向量表示点、直线、平面等元素建立空间图形与空间向量的联系利用空间向量的运算解决立体集合中的问题空间向量运算的坐标表示（加减法、数乘、数量积）空间向量的正交分解及其坐标表示属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助

2、空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标的转化，进而为后面的立体几何问题的解决服务.但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识. 因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度增加所带来的影响.”“又因为教材在本章专门安排了一个阅读与思考 向量概念的推广与应用，把二维向量，三维向量，推广为高维向量，并说明了其应用. 有条件的地区，可以引导学生学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质向多维推广.”而事实上，之前学生所学习的向量共线定理，本质也是一样的，因此，仔细研究教材的编写意图，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个重要的承上启下的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一，同时通过教材的阅读与思考环节，又将学生带入了高维向量的世界，完成了一个学生对于不

3、同维度下向量空间结构的认识的升华过程，巧妙至极！ （二）学生学情分析在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易的，但是证明唯一性具有一定的难度. 同时有了平面向量坐标的定义，得到空间坐标的定义是容易的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性的理解却是模糊的.因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义. 难点：类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的证明，与坐标定义中选择单位正交基底的合理性二、教学目标设置依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：1、 通过类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的表述形式；2、 理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；3、 体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量积问题的意义所在；4、 掌

4、握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；5、 体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与必要性，并将本节课所获得的结果，在高维向量空间作简单的推广，培养学生的类比归纳能力.三、教学策略分析鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略：1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构特点上的统一性，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；四、教学过程为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下七个环节：引入小结温故知新，建立定理严格论证，完善定理实例探究，应用定理回顾历程，审视定理大胆猜想，推广定理接下来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图

5、作出说明.（一）引入问题1：如图，已知，是给定的向量，对于任意的，请问能用，表示吗？【学生活动】学生思考是否能够表示，有学生认为可以，理由是之前学习的平面向量基本定理，还有学生认为不一定，因为可能与，不共面.【设计意图】本节课的采用通过从平面向量到空间向量的类比得到空间向量的相关内容的类比教学策略，因此设置该问题，让学生意识到我们现在不单单是研究平面向量，同时研究空间向量，但容易发现它们之间有类似的地方，因此本节课的目的就是要弄清推广过程中的不同之处，并加以解决.（二）温故知新，建立定理问题2：如果，是共面的，那该怎么表示呢？【学生活动】学生提出通过作平行四边形的方法，可以得到,所以.并回顾了平面向量基本定理的表述：平面向量基本定理：如果向量，不共线，那么对于平面中的任一向量，存在唯一有序实数组，使得，其中,称为平面的一组基底.【教师总结】这个就是我们之前在必修4中所学习的平面向量基本定理，同时我们知道这个分解不但存在，而且唯一！【设计意图】用这个问题，帮助学生回顾之前所学习的平面向量基本定理，同时为后面推广为空间向量基本定理作好铺垫.问题3：如果，是不共面的，那该怎么办呢？【学生活动

6、】学生思考提出应该再给出一个向量问题4：随便再给出一个向量都行吗？【学生活动】学生提出新给出的向量应该与，不共面.问题5：如果再给出一个与，不共面的，现在该怎么表示？【学生活动】学生回答类似平面向量基本定理的做法，先过点作的平行线，交，所在的平面于点，连接,可以得到由平面向量基本定理可知，再作平行于交直线于点，则，所以.【教师总结】这个过程与平面向量基本定理十分相似，如果我们也给这个定理取一个名字，就可以把它叫做空间向量基本定理. 问题6：我们可以通过修改平面向量基本定理的表述，得到空间向量基本定理吗？【学生活动】可以，只需要作出以下修改：空间向量基本定理：如果向量，不共面，那么对于空间中的任一向量，存在唯一有序实数组，使得，其中称为空间的一组基底.【设计意图】通过类比平面中的分解过程，让学生在本质上体会空间向量在类似问题的处理上方法的相通之处；同时通过修改平面向量基本定理的方法来得到空间向量基本定理的表述，让学生再从形式上体会两个定理的相似之处，从而体现了类比的思想方法.（三）严格论证，完善定理问题7：我们在平面向量基本定理中知道，在基底,下的分解不但存在，而且唯一，那么空间向量基本

7、定理中的分解也唯一吗？【学生活动】学生认为分解唯一，且通过刚才作图过程的唯一性来说明.【教师总结】从刚才分解过程来看，作图过程是唯一的，但是如果我先将按照其他方式分解成几个向量，然后再分别在基底下分解，分解系数仍然不变吗？我们发现通过作图观察问题是一个非常直观有效的方法，但是缺乏必要的逻辑推理，因此无法代替严格的证明，那么请同学们思考，该如何证明分解的唯一性？【学生活动】鉴于这个问题有一定的难度，教师要求学生先进行独立思考，然后在有自己的想法之后，分成4人小组讨论这个问题，并且最后邀请一位学生上台通过实物投影仪来讲述自己的证明方法：证明：假设存在两种分解，即，且，则有（i）若，则，由平面向量基本定理分解的唯一性可知，所以是同一种分解；（ii）若，则，那就会有与，共面，矛盾！所以，只存在一种分解.【教师总结】这位同学通过代数方法证明了分解的唯一性，很好！这样，我们就得到了完整的空间向量基本定理.【设计意图】分解的唯一性在选秀2-1教材的定理表述中并没有指出，但考虑到以下两点原因：1、在必修4平面向量基本定理的表述中提到了唯一性；2、教学参考要求这个节课要让学生体会从平面向量基本定理到空间

8、向量基本定理的类比过程，那么唯一性的证明就无法回避了. 事实上唯一性的证明，既保持了两个定理的一致性，能够更完整地让学生体会到其中的类比过程，又让学生体会了反证法的意义及应用，以及作图过程不能作为唯一性的证明，只能作为直观上的验证，提高了学生思维的严密性，最后分解的唯一性保证了空间向量与三元有序数组之间能够建立一一对应关系，为本节课后续的坐标定义的合理性做下重要铺垫；（四）实例探究，应用定理问题8：例1：如图，在三棱锥中，为的重心，且两两垂直；（1）试用，表示；【学生活动】学生通过计算得到【设计意图】空间向量基本定理的简单应用，即给定一组空间的基底，就可以将任意一个向量分解成基向量的组合.例1：如图，在三棱锥中，为的重心，且两两垂直；（2）你能选择另外一个基底来表示？【学生活动】学生经过讨论，选择，提出了不同基底的选择方案，其中选择最多的是，此时；但是有一个男生轻声说了一句：“选.”即选择作为一个基向量，如，此时！【设计意图】让学生熟悉向量在不同基底下的分解，并体会基底的选择并不唯一，课堂上绝大部分学生选择了，回答理由是因为两两垂直，但是垂直条件在这个问题中，并没有为解题过程带来方便，

9、而却使得问题的解决更加简单， 因此可以看出，学生对于基底的选择很多时候是盲目的. 所以这个问题的设置主要目的是让学生初步体会在问题解决中需要根据具体问题选择合理的基底，为后面的寻找单位正交基并得出空间向量坐标定义做下了铺垫；例1：如图，在三棱锥中，为的重心，且两两垂直；（3）试求；【学生活动】学生经过对比，容易发现选择作为基底，在这个问题中具有很大的优势，因为两两垂直的单位向量之间的数量积运算结果非常简单！学生通过简单计算，得到.【教师总结】通过这个问题的解决我们可以发现，在处理向量的数量积问题时，选择两两垂直的单位向量作为基底，会为问题的解决带来很大的方便，因此我们有理由对于这样的基底产生足够的重视.我们不妨设，且把这种基底称作单位正交基底. 特别的，如果我们以，作为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，那么由空间向量基本定理，我们知道对于空间的任意，都能表示为，而且这种表示是唯一的，所以空间的任意，都与有序实数组之间形成了一一对应的关系，我们就称，是在单位正交基底下的坐标，记为.【设计意图】通过具体事例，体会到单位正交基底的选择对于处理数量积问题所带来的方便，然后又由之前已经证明的空

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