1991年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）

1、1991年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)设r=1 + z2=COS t t 9(2)由方程心 +丿工2 +夕2 +/ =扼所确定的函数z=z (工，夕)在点(1,0, -1)处的全微分dzdz = = 已知两条直线方程为0：三二=千=工二等丄2：王尹=+，则过L且平行1 U 1 Z 1 1于l2的平面方程是_.2(4)已知当工0时，(l+a工巧丁一1与cosh 1是等价无穷小，则常数a52(5)设4阶矩阵A A = =0020010001-2011，则A的逆矩阵A-】=二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)1 + e_j2(1)曲线y =十八 ).1 e(A)没有渐近线(C)仅有铅直渐近线(B)仅有水平渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数f(x)f(x)满足关系式_/(工)彳：”*)曲+ ln 2,则f(x)f(x)等于( ).(A)eTn 2(C)ex +ln 2(B)e2jln 2(D)e2x +ln 2已知级数工(一1)一0” =2,2”t =5,则级数工a”等于( )n =

2、l n = 1 n = 1(A)3 (B)7 (08 (D)91991年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 10 页(4)设D是平面JcOyJcOy上以(1 9 1) 9 ( 1 9 1) 9 ( 1 ? 1)为顶点的二角形区域,Di是DD在第一象限的部分，则(攵+cos x xD Dsin AyAy 等于( )cos jc sin ydxydx dydyDi(C)4jj(Di(A)2jcyjcy + cos x x sin y) dr(B)2jj xydxxydx dy Di(D)0(5)设阶矩阵A,B,CA,B,C满足关系式ABC=E,ABC=E,其中E为n n阶单位矩阵，则必有( ).(A)ACB =E(B)CBA =E=E(C)BAC=E (D)BCA =E=E三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)求 lim (cos T.zo+(2)设是曲面2工2 + 3夕2 + / =6在点P( 1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u u = = 丿6工2+8声 在点p处沿方向的方向导数.Z Z(3)求JJ(2+j/2+z)dv,其中。是由曲线二绕z轴旋转一周而

3、成的曲面与平面n=4 所围成的立体.1991年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 10 页四、（本题满分6分）在过点0（0,0）和点A（兀，0）的曲线族夕=asin夂（0）中，求一条曲线L ,使沿该曲线从 O O到A的曲线积分（1 + J/3） da- + （2x + y）dj/的值最小.五、（本题满分8分）将函数于（工）=2+ |h |（1 工 1）展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数 Y 的和.n = 1九六、（本题满分7分）设函数于（工）在0,1上连续，在（0,1）内可导，且3：于（工）dr =于（0）,证明：在（0,1）内存 J T在一点C,使得=0.七、（本题满分8分）设 a】=（1,0,2,3） ,a2 =（1,1,3,5）,a 3 =（1, 1 ,a,a +2,1） ,a4 =（1,2,4,a + 8）及P P =（1,1+ 3,5）.（1） a ,b,b为何值时,0不可由a】 a?皿3 5 线性表示？（2） a ,b,b为何值时,0可由a】,a2 ,a3 a4唯一线性表示？并写出该表达式.1991年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 10

4、页八、（本题满分6分）设A A为阶正定矩阵,E为阶单位矩阵，证明：|A+E| 1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P P（ （x,yx,y ）处的曲率等于此曲线在该点的法线 段PQPQ长度的倒数（Q是法线与工轴的交点），且曲线在点（1,1）处的切线与工轴平行.十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）（1） 设随机变量X服从均值为2、方差为/的正态分布，且P2X4= 0. 3,则PX0PX0 = = _. .（2） 随机地向半圆0 夕0）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则原点与该点的连线与工轴的夹角小于手的概率为4 -十一、（本题满分6分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为. 、工 0,夕0,心八1。， 其他，求随机变量Z =X + 2Y的分布函数.1991年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 10 页、填空题(1)【答案】sin t cos t4芒【 【解解】 】d2 ydi71991年数学(一)真题解析djr / dzddy dy/ dtAxsin t2cos t 一 2sin tAx / dtdz4z2 2

5、?sin t Z cos t4芒(2)【答案】dzQdy.【 【解解】方法一+ Vx2 + y2 + z2 = 72两边对jc求偏导得z +z牛djcyz+xy+ _抵 Vx2+y2+z20,解得聖ox=1;HW + Vx2 + y2 + z2 = a/2两边对y求偏导得I dzy + z dy.2 丄.2 丄 2=一罷,故 dz |( (i,o,-i)= dr /2dy.方法二jcyz + Vjc2 y2 + z2 = V2 两边求微分得 d(xyz) + d( Vx2 y2 z2 ) = 0,即 wdz + zzdy + pdz + 归 +/业 土三空=0,vx2 + y2 + z2将= (1,0, 1)代入得dz I( (i,o,-i)= dw 血如(3)【答案】x 3y + n + 2 = 0.【答案】 显然M0(1,2,3)为所求平面上的点，所求平面的法向量为兀=1,0, 1 X 2,1,1 = 1,3,1, 所求平面为兀：(无1) 3(夕一2) + (n 3) = 0,即 7r : j: 3，+ n + 2 = 0.【答案】一斗.Z【解】 由(1+处2)3 1 岂工2 9

6、COS X -JC2，得牛=-，故 Q =-0 Ci Lt 乙-2(5)【答案】 o0 xz + xy t +0,解得字-20050000y丄2_331991年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 10 页【 【解解】 】令B =5 22 1,C =1 -21 1，则 A-1B 1 Oo L由52101 01-21 01_2由21012 1010 1-25，得旷=1 -22 51-21-210/10711oV 01丄，得L =2_1-2000177-2500故AT00丄2_I00I7二、选择题（1）【答案】(D).【 【解解】 】由 limy = 1,得 3/ =Zf 81为曲线y21 + e1_ 21 e_x的水平渐近线由 limy021 4- e_x=8,得工=0为曲线y = - r的铅直渐近线，应选（D）.1 _尸（2）【答案】(B).【 【解解】/(0) = In 2,/(x)=2odr + In 2两边对求导得ff （x ） = 2f （工），Ce2x.解得 /(j;) = Ce 2dj由 /(0) = 1口2得0 = In 2,故 /(x) = e2x In 2,

7、应选(E).(3)【答案】(C)【 【解解】 】 令 S：)= ax +a3 4-a2n-i , S2) = a2 +a4 -a2n ,S務)=ax a2-a2n-1 a2n = Sf Sf , S” = 5 +如-a”，由题意得 limSj)= 5, limS = 2,于是 limS2) =limS： limS；? = 3,因为limS2n =limS严+limSY = 8,所以级数乞a”等于8,应选(C)” foo n-* n-* n=l【答案】（A）【 【解解】 】 令 0 = （h,） 1 =工 W0,h y W x ,D3 = （龙，歹）|一夕工夕，0冬夕1,由对称性得Jj (xy + cos x sin y)dx dy = 0,D2JJ jcy + cos jc sin y ) dz dy =D3(5)【答案】(D)【 【解解】 】 由 ABC = E 得 BC = A-1，则 BCA = A_1A = E,应选(D).jj cos x sin ydx dy = 2D3Jj cos x sin ydjc dy，应选(A).Di1991年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6

8、 页，共 10 页(1)【 【解解】 】lim (cosT) = lim 1 + (cos/F I)-， 乂 r0+ 工-*0十4贝U / = a3 4a + 7t.lim (cos fx 1)h lim cos :二+工e1lim 工 ” fo+ 工=e=4工，6y ,2n(i,ij)(2)【 【解解】 】法向量=4,6,2,方向余弦为cos ac 3,COS 0 =-, COS ya/T4 714=Tn9则rdn(3)【 【解解】 】du_3工du714.丄+丄.du z /6j72 + 8y2z4 2, 丄= _714 Tn /TT 714 73/2 = E 绕z=0z轴旋转而成的曲面为S-x2 + y2 = 2n ,2683u 丿6工 2 + 8y 2p2z %/6jc2 + 8y268( (1,1,1) ) yrr( (1,1,1) ) a/TT( (1,1,1) )=yiT,8则。=(工，N)|(H,y) G Dz，0WnW4,其中 2 = (j: 9y) I J：2 + j2 2z,x2 + y2 + 2： )dv = J dzJJ(x2 + y2 + z ) djr d

9、j/0 DJ 0 J 0 J( (0r(r20+ z)dr = 2k dzJ 0 .727(r3 + rz)dr0四、【 【解解】方法一I(Q )=4 2 1 64 256ttn dz = 4k =- o 3 3(1 + 3)da: + (2jc + j/)dj/ = (1 + a3 sin3 x ) dr + ( 2工 + a sin jc ) a cos x da:J 0=4 kL7t + a3sin工 dr + 2a0 x d(sin x ) + a20sin j?d(sin x )0=7T + 2q + 2a I j; sin xsin 工 dr )=兀 + 0,所以a = l时 (1 +L3?) dr + (2h + y)dy最小9故所求曲线为y = sin x.方法二而(1 + j/3 )djr + (2 工 + =l+ao +OA(1 + j/3 )dJr + (2z + jy)dy.)_ (1 + 3/3 )d+ (2z y)dy = (2 3y2 )dx dy = (3j2 2)dx dyl+ao JJ JJD Dr n ra sin x f ndjc0O3/2 2)

10、dj/ =(a sin3 x 2a sin 工)dz 00ya3 -4a,(l+3)dj? + (2jc + j)d =OAdz = 7T ,01991年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 10 页令厂（Q ） = 4/ 4 = 0,得 Q = 1 ,因为J（l） = 8 0,所以Q = 1时Jl（1 +夕3）dz + （2工+ y ）dy最小，故所求曲线为y = sin X. 五、【 【解解】 】 显然/（）满足狄利克雷充分条件，a”bn=21 (2 + j7)dj7 = 2XJ 0(2+t)= 5,= 2(2 + 工)cos rnzjc Ajc = 2(2J cos mtx dx +x cos mix Ax02 .jc sin nnxH7T2 cos rmx n 7r7?27T2sin mtjc dx =cos kjc H- - cos321x d(sin mtx )o0,x cos n itx dx 04 sin04 2 n 7Tmzx dxn = 1,3 拓 9 ，(00 V 工 0(/ = 从而A + E的特征值为+ 1 * 2 + 1，入” + 1，故丨 A +

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