1997年全国硕士研究生考试数学(一)真题解析
6页1、1997年数学(一)真题解析一、填空题3【答案】 y.3sin x + 2 cos 【解 映(1 + cos x)ln(l +x)3sin z + 工 $ cos 1 x= ln(l + z)3sin 工 + 工 2 cos 1 jC=lim(3 巴三+ zcos2 x-*0 x=vlimZ X-*Ox(2)【答案】(一2,4).【解】 【解】 因为幕级数工;“a”(z 1)七的收敛半径与的收敛半径相同,” =1 ” = 0所以工皿”(工一1)宀的收敛半径为R = 3,故所求收敛区间为一3 Vz-l V3,即(一2,4). n = l(3)【答案】y = jc + e2 .【解】【解】对数螺线的参数方程为5=e cos 9 ,=e sin 0.当0 =守时,(工,歹)=(0,e2 ),2 d=dy/d& djr dx / d0cos 9 + sin 0cos 9 sin 9曲Idz I 0=JL故所求切线的直角坐标方程为y e2 =工,或;y = z+J.(4)【答案】一3.【解】 【解】 方法一 因为BO且AB = O,所以方程组AX = 0有非零解,1 2 -2于是 | A | =
2、 0,而由 A= 4 t 3 =7t + 21 = 0,得 = 3.3 - 1 1方法二 由AB =O得厂(A) +厂()3,再由 BO 得厂(3) $ 1,于是 r(A) 2 3,故 | A | = 0,解得 t = -3.2(5)【答案】百【解】 【解】 令人=第一个人取黄球,A2 = 第一个人取白球,B = 第二个人取黄球,2 3 1Q 90PCAJ = , P(A2) = , P(B | AJ = , P(B | A2) = 49 49则 P(B) = PCAPCB | AJ + P(A2)P(B | A2)2 19 , 3 20 2=X -1 X =:5 49 5 49 5 二、选择题(1)【答案】(C).【解】 【解】 因为lim/Xz 9y) = 工lim f(x =-,所以f(x ,3/)在(0,0)处不连续;Tf 0 Li X-*0 Ly=x1997年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 1 页,共 6 页由 lim 了)- )=lim = 0 得 (0,0) = 0,同理 fy (0,0) = 0,o x 0 zo x即y(z,y)在(0,0)处可偏导,应选(C).(
3、2)【答案】(B).【解】 【解】 由/&)J _f (b)dx = f a) = S2 ;再由fS 0得/(x)为凹函数,rt i于是 Si = y:/(a) +/(&)(& -a) = S3 ,即 S2 S, sin(t)dtJ n J 0当 t e 0,7t时,(es,n, -e-sin,)sin t MO,则 FQ) 0, 故F(x)为正常数,应选(A).(4)【答案】(D).fajX +bxy = Ci ,【解】【解】三条直线交于一点的充分必要条件是方程组a2x+b2y = -c2,有唯一解, L 3- + b3y = -5即 r(A) = r(A)23故ai ,a2,a3线性相关,而a2线性无关,应选(D).(5)【答案】(D).【解】 已知D(X) = 4, D(Y) = 2,因为 X,Y 相互独立,所以 D(3X 2Y) = 9D(X) +4D(Y) = 36十8 = 44,应选(D).(1)【解】 【解】 平面曲线$ = 2Z,绕z轴旋转一周形成的曲面为S:2+j;2 = 2z, 1工=0则 Q = Cx ,y ,z) | (乂,)6 D=,0WzW8,其中 D= =
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