1994年全国硕士研究生考试数学（一）真题解析

1、1994年数学(一)真题解析一、填空题(1)【答案另丄【解】【解】. / 1 1 工一sin 工limcot x I -I = lim :-Xo sinz jc f x-* o x sin x tan xjc sin jc 1 1 一 cos x 1=hm-3- = vlim-i- = Tx-0 JQ o x-* 0 X 0(2) 【答案2工+ y 4 = 0.解鬥令 F = 2xy + n e2 3,法向量为 m = 2y ,2h ,1 e*(1,2,0= 4,2,0,则切平面为 4(工一l)+2(y 2)+0(n 0) = C)9 即 2jc + y 4 = 0.兀2(3) 【答案】尹du0JCx _ 亠 I e sin-y-cos yJCy带 u x e x e x jc e x . jc- = cos-cos-1-sin ,y y y y y y故d2 uJC【解】由对称性得yj(x2 +y2)dzdy = + J町九=DTtRT1丄 I(5) E答案3”t 2 1丄I71223212I2_y11994年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 6 页1丄 I所以 An

2、= 3n-1A = 3”t 2 13_3 I1_72_1二、选择题(1)【答案1 (D).【解】【解】M = 2 Sn-cos4 jc Ax = 0,J _今 1 + HN =J； (sin3 +cos4z)dz = 2J2 cos4 x dx0, 2P = 2 (j;2 sin3 j： cos )dr = 2 2 cos4 jc dj? V 0, J J o2则P VM VN,应选(D)（2）【答案】（D）.（D）H（0,0）, 【解】【解】取f（D）=工+0, （工,夕）=（0,0）.由lim/（-r0）-/（0,0） =o 得斤（0卫）二。,同理 （o,o）=0,即 fx,y）在（0,0）处可偏导. 工f 0 X 0因为 ,jy ） = H lim /（x ,j/）= ，所 litlim/ （工，歹）不存在，故 f （jc ,y）在（0,0）处不连续；j-* 0 u x-* 0 Z x-* 0y=工 y= 一工 y-0令产（z，y）= I | + I y | 显然芦（工，夕）在（0,0）处连续因为lim/（宀0）W?曰曲 4 不存在，所以/（x ）在（0,0）处对x不可偏导，同理

3、fG ,y）在x-* 0 JC -r-* 0 JC（0,0）处对y也不可偏导.故f（x,y）在Q。，）处可偏导既非在（工。，九）处连续的充分条件也非必要条件，应选（D）.（3）【答案】（C）.+ 2 n 十入因为及工- 都收敛，由正项级数的比较审敛法得工n= n = 1 X 十入 ” =1i音收敛,8 I I即（1）” /仝丄-绝对收敛，应选（C）.” =1 /z2 2 + 入（4）【答案（D）.【解】【解】匸 c . a tan jc +6(1 cos x )由 2 = lim-cln(l 2h)+/(1 已卞)r-* 0a tan jc 十 b (1 cos x ) xx=lim 2L0 cln(l 2h) + /(l )Xa得2 = 4c,应选（D）.（5） l答案】（C）解方法一由（X1 + 么2）（化+庄3）+（。3 十 S）（仅 4+（X1）= 0 得向量组 1 + 2,2+33+44+!线1994年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 6 页性相关，（A）不对;由（。1 /2）+（。203）+（么3。4）+（。4。1）= 0 得向量组么2，。2。3，。3。4，。

4、4一线 性相关，（B）不对；由（5 + a2） （a2 + a3） + （a3 a4）+（4 i）= 0 得向量组 a + a2ta2+a3，a3i 线 性相关，（D）不对，应选（C）.方法二令 A = (aj ,a2 ,a3 ,a4),因为 ax ,a2 ,a3 ,a4 线性无关，所以 r(A) = 4.-10001101令B=(1+ a29 a 2+ a33 +9 a 4 -a i),则=A011001100 - 1100_ 1100_ 1、1100()1011100因为0110=0110=2 H 0,得01100011()0110011 ,01满秩,所以r（B）,( (X 4_1=厂(A) = 4,苗C ( (X1 + a 2 9( (X 2 + a 3， ，a 3 + a 41线性无关，应选（C）.（1）【解】【解】dy/di dx / Atcos tI 2 2z2sin t2 2t cos t2I = 一 JCSC X d(cot H ) = CSC X cot X csc x cot x I + In | csc x cot x* ( csc jc cot j; + In

5、I csc x cot x | ) + C ,. . = 丄( csc x cot j; + In I csc x cot | )- Csin lx + 2sin x 4 4sin x四、【解】 【解】 令纭：N = R（工$ +y2 R2）,取下侧，S2 :z = R Cx2 + y2 WR2),取上侧，2sin t22t（2）【解】【解】ddx / Atd2=Jin甘则葺L君1J2x/(.) = -1-10(1 + .)-yln(l-.) +1arctan x xdj;f (0) = 0,）=莎5 + 丽一1 =吕一 i=刀(，)=刀h ( 1 ； x m= 1 n = l 1),于是于(工)=f(jc ) / (0)=/(r)dz = Y0 n = l4”+l X4n + 1(-1 x 1).（3）【解】【解】dxsin 2x + 2sin x=丄f _空_2 J sin jr (1 + cos x )1 f (1 cos x )djr =TJ sin3 j;令/ =csc3 x dr ,则3 jt djr-sin3 xd(sin x )H-4sinzCSC X cot2 J；

6、dj；故2 :N1994年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 6 页显然S3 ：x2 + y2 = R2 ( R W z W R),取外侧， t严逻旳2 = o,J工2 +夕 +之3因为2广2 , d为Z的偶函数，所以 x + y + z于是I =再由x dj/dz 弋工十夕十N zdydz _2 7 2 I _2 U x + y r z f亍聘o,故 工十J/十N r十勺=rr z心血 Pl”无2 +2 +才 ”引 2： ：申J? +2 +乙2Z2rr z2 Ax AyI x2 +y2 +z2 = J H 十3/十N2 &CP jc dy dz H 2 + y 2 + N工3T x d;y dzJ jc2 + y2 + z2 32 令羽 Jd+b = R2Q$0),取前侧，因为2 | ：；飞为工的奇函数, jc + y + z所以I =Z3x dydz 十；/ + /=2CP jc dy dz：JJ x2+y2+z2 T(l) 丿32R dy-R R-R血2 p2血=8 0.十、填空题(1)【答案】1 P.【 【解】 解】 由P(AB) = P(A B)得P(AB) =

7、P(A +B) = 1 P(A+B) = 1 - P(A) P(B) +P(AB),即 1 -P(A) P(B) = 0,解得 P(B) = 1 P(A) = 1 p./ 1、【答案】Zi 3 .M T【解】【解】Z的可能取值为0,1,PZ = 0 = Pmax(X,Y) = 0 = PX = 0,Y = 0=PX = 0 PY = 0 = ，43 / MPZ = 1 = 1 P Z = 0二玄，贝iJZ的分布律为Zi 3 十一、【解】【解】(l)E(Z) = *E(X)+ *E(Y) = *,又 D(X) = 9,D(Y) = 16,Cov(X,Y) = pXY JD(X) 7D(Y) = ( - ) X 3 X 4 = -6,则 D(Z) = (+) 2(X) + (寺)2D(Y) + 2 X + X 寺Cov(X,Y)Lt J Lt=yD(X) +yD(y)+ yCov(X,y)= 14-4-2 = 3.1994年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 6 页(2)Cov(X,Z) = Cov(x,y) + Cov(x,y) = yCov(X ,X) + yCov(X ,y),又 Cov(X,X) = D(X) = 9, Cov(X,Y) = 6,则 Cov(X ,Z) = yX9 + yX(-6) = 3- 3 = 0.所以Pxz =Cov(X,Z)丿D(X) - TdczT因为A可逆，且（X,Y）服从二维正态分布，故（X,Z）也服从二维正态分布，又因为Qxz =0,所以X与Z相互独立.1994年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 6 页

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