2023年高中数学数学专题几种切线解题模型.pdf

1切线切线【题型一】【题型一】求切线基础型：给切点求切线求切线基础型：给切点求切线【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律以曲线上的点以曲线上的点(x0，f(x0)（已知（已知 x0为具体值）为具体值）为切点的切线方程的求解步骤：为切点的切线方程的求解步骤：求出函数求出函数 f(x)的导数的导数 f(x)；求切线的斜率求切线的斜率 f(x0)；写出切线方程写出切线方程 yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简，并化简【典例分析】【典例分析】1 1、已知函数已知函数 2sin1xfxx，则曲线，则曲线 yf x在点在点0,0处的切线的方程为处的切线的方程为_.2 2、已知函数已知函数3)(xxf，则曲线，则曲线 yf x在点在点0,0处的切线的方程为处的切线的方程为_.【题型【题型二二】求切线基础型：有切线无切点求切点求切线基础型：有切线无切点求切点或参数或参数【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律以曲线上的点以曲线上的点(x0，f(x0)（x0为未知值，可以设出来）为未知值，可以设出来）为切点的切线方程的求解步骤：为切点的切线方程的求解步骤：求出函数求出函数 f(x)的导数的导数 f(x)；求切线的斜率求切线的斜率 f(x0)；写出切线方程写出切线方程 yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简，并化简【典例分析】【典例分析】1 1、曲线曲线 32f xxx在在0p处的切线平行于直线处的切线平行于直线41yx，则，则0p点的坐标为（点的坐标为（）A1,0B2,8C1,0和和1,4 D2,8和和1,4 2 2、已知曲线已知曲线3yx在点在点,a b处的切线与直线处的切线与直线310 xy 垂直，则垂直，则a的取值是（的取值是（）A-1BC1D3【题型【题型三三】无切点多参无切点多参【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律思维同上，依旧是设切点，待定系数求解方程（组）思维同上，依旧是设切点，待定系数求解方程（组）【典例分析】【典例分析】若直线若直线2yxb是曲线是曲线2 lnyax的切线，且的切线，且0a，则实数，则实数 b 的最小值是的最小值是_.【题型【题型四四】“过点过点”型切线型切线【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律20000000000001,)2=fxfxk=fxy)yba-y()5ab-y()-y(xyyk xxkxkxx、设切点：P(x、（）3、y=（）（）。

4、切线方程：、过，代入：得解出以上是以上是“在点在点”与与“过点过点”的区别，授课时可参考下图的区别，授课时可参考下图【典例分析】【典例分析】过原点作曲线过原点作曲线lnyx的切线，则切点的坐标为的切线，则切点的坐标为_，切线的斜率为，切线的斜率为_.【题型【题型五五】判断切线条数判断切线条数【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律1.设点列方程过程同前（求切线过程）设点列方程过程同前（求切线过程）2.切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断【典例分析】【典例分析】已知曲线已知曲线3:3S yxx，则过点，则过点2,2P可向可向S引切线，其切线条数为（引切线，其切线条数为（）A1B2C3D0【题型【题型六六】多函数（多曲线）的公切线多函数（多曲线）的公切线【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律1.两个曲线有公切线，且切点是同一点两个曲线有公切线，且切点是同一点2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点两个曲线有公切线，但是切点不是同一点典例分析】【典例分析】直线直线ykxb与曲线与曲线()yf x相切也与曲线相切也与曲线()yg x相切，则称直线相切，则称直线ykxb为曲线为曲线()yf x和曲线和曲线()yg x的公切线的公切线，已知函数已知函数2(),()ln,f xxg xax，其中其中0a，若曲线若曲线()yf x和曲线和曲线()yg x的的公切线有两条，则公切线有两条，则a的取值范围为（的取值范围为（）A0a B1a C02eaD20ae3【题型【题型七七】切线的应用：距离最值切线的应用：距离最值【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律主要思维：利用平移直线，直到与该函数切线重合主要思维：利用平移直线，直到与该函数切线重合【典例分析】【典例分析】点点P在函数在函数lnyx的图像上，若满足到直线的图像上，若满足到直线yxa的距离为的距离为 1 的点的点P有且仅有有且仅有 1 个，则个，则a（）A21B21C21D21【题型【题型八八】切线的应用：距离公式转化型切线的应用：距离公式转化型【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律1.距离公式形式：平方和距离公式形式：平方和2.以此还可以类比斜率公式形式以此还可以类比斜率公式形式【典例分析】【典例分析】若若12,x xR，则，则212212eexxxx的最小值是的最小值是A1B2C3D4【题型【题型九九】切线的切线的应用应用：恒成立求参等应用：恒成立求参等应用【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律.利用切线作为利用切线作为“临界线临界线”放缩。

这类思维，有时也应用于大题的不等式证明，称之为放缩这类思维，有时也应用于大题的不等式证明，称之为“切线放缩切线放缩”【典例分析】【典例分析】已知已知a为实数，则为实数，则“exax对任意的实数对任意的实数x恒成立恒成立”是是“02a”的（的（）A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【题型【题型十一十一】切线的切线的应用应用：零点等：零点等【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律对于函数与直线交点个数对于函数与直线交点个数，可以借助于切线可以借助于切线（临界线临界线）来求解来求解，但是一定要注意函数一般情况下但是一定要注意函数一般情况下，是比较是比较简单的凸凹函数如下图（示意图简单的凸凹函数如下图（示意图），可以讲清楚这里边的，可以讲清楚这里边的“非充要非充要”性性【典例分析】【典例分析】已知函数()f x满足1()()f xfx，当1,3x时，()lnf xx，若在区间1,33内，函数()()g xf xax与x轴有三个不同的交点，则实数 a 的取值范围是4切线切线【题型一】【题型一】求切线基础型：给切点求切线求切线基础型：给切点求切线【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律以曲线上的点以曲线上的点(x0，f(x0)（已知（已知 x0为具体值）为具体值）为切点的切线方程的求解步骤：为切点的切线方程的求解步骤：求出函数求出函数 f(x)的导数的导数 f(x)；求切线的斜率求切线的斜率 f(x0)；写出切线方程写出切线方程 yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简，并化简【典例分析】【典例分析】已知函数已知函数 2sin1xfxx，则曲线，则曲线 yf x在点在点0,0处的切线的方程为处的切线的方程为_.【答案】【答案】20 xy【解【解】因为 221 cos2sin1xxxfxx，所以 02kf，则所求切线的方程为2yx.故答案为：20 xy.已知函数已知函数3)(xxf，则曲线，则曲线 yf x在点在点0,0处的切线的方程为处的切线的方程为_.【题型【题型二二】求切线基础型：有切线无切点求切点求切线基础型：有切线无切点求切点或参数或参数【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律以曲线上的点以曲线上的点(x0，f(x0)（x0为未知值，可以设出来）为未知值，可以设出来）为切点的切线方程的求解步骤：为切点的切线方程的求解步骤：求出函数求出函数 f(x)的导数的导数 f(x)；求切线的斜率求切线的斜率 f(x0)；写出切线方程写出切线方程 yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简，并化简【典例分析】【典例分析】曲线曲线 32f xxx在在0p处的切线平行于直线处的切线平行于直线41yx，则，则0p点的坐标为（点的坐标为（）A1,0B2,8C1,0和和1,4 D2,8和和1,4【答案】【答案】C【详解】令 2314fxx，解得1x ，10,14ff，故0p点的坐标为 1,0,1,4，故选 C.已知曲线已知曲线3yx在点在点,a b处的切线与直线处的切线与直线310 xy 垂直，则垂直，则a的取值是（的取值是（）A-1BC1D3【答案】【答案】B【详解】3yf xx，23fxx，直线310 xy，13k ，故 233faa，解得1a .故选：B.5【题型【题型三三】无切点多参无切点多参【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律思维同上，依旧是设切点，待定系数求解方程（组）思维同上，依旧是设切点，待定系数求解方程（组）【典例分析】【典例分析】若直线若直线2yxb是曲线是曲线2 lnyax的切线，且的切线，且0a，则实数，则实数 b 的最小值是的最小值是_.【答案】【答案】2【详解】2 lnyax的导数为2ayx，由于直线2yxb是曲线2 lnyax的切线，设切点为,m n，则22am，ma，又22 lnmbam，2 ln2baaa（0a），2 ln122lnbaa，当1a 时，0b，函数 b 递增，当01a时，0b，函数 b 递减，1a 为极小值点，也为最小值点，b 的最小值为2ln1 22.故答案为：2【题型【题型四四】“过点过点”型切线型切线【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律0000000000001,)2=fxfxk=fxy)yba-y()5ab-y()-y(xyyk xxkxkxx、设切点：P(x、（）3、y=（）（）。

4、切线方程：、过，代入：得解出以上是以上是“在点在点”与与“过点过点”的区别，授课时可参考下图的区别，授课时可参考下图【典例分析】【典例分析】过原点作曲线过原点作曲线lnyx的切线，则切点的坐标为的切线，则切点的坐标为_，切线的斜率为，切线的斜率为_.【答案】【答案】,1e1e6解：设切点坐标为(,)x lnx；1yx；故由题意得，1lnxxx；解得，xe；故切点坐标为(,1)e；切线的斜率为1e；故切线方程为1()1yxee，整理得0 xey故答案为：(,1)e；1e.【题型【题型五五】判断切线条数判断切线条数【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律1.设点列方程过程同前（求切线过程）设点列方程过程同前（求切线过程）2.切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断【典例分析】【典例分析】已知曲线已知曲线3:3S yxx，则过点，则过点2,2P可向可向S引切线，其切线条数为（引切线，其切线条数为（）A1B2C3D0【答案】【答案】C【详解】设在曲线S上的切点为3,3ttt，33yxx，则233yx，所以，曲线S在点3,3ttt处的切线方程为 32333ytttxt，将点2,2P的坐标代入切线方程得32320tt，即21220ttt，解得11t，213t ，313t .因此，过点2,2P可向S引切线，有三条.故选：C.【题型【题型六六】多函数（多曲线）的公切线多函数（多曲线）的公切线【解题关键和模板解题关键和模板】基本规律基本规律1.两个曲线有公切线，且切点是同一点两个曲线有公切线，且切点是同一点2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。

两个曲线有公切线，但是切点不是同一点典例分析】【典例分析】直线直线ykxb与曲线与曲线()yf x相切也与曲线相切也与曲线()yg x相切，则称直线相切，则称直线ykxb为曲线为曲线()yf x和曲线和曲线()yg x的公切线的公切线，已知函数已知函数2(),()ln,f xxg xax，其中其中0a，若曲线若曲线()yf x和曲线和曲线()yg x的的公切线有两条，则公切线有两条，则a的取值范围为（的取值范围为（）A0a B1a C02eaD20ae【答案】【答案】C【详解】设曲线2()f xx的切点为：2(,)s s。