2026《高考数学一轮复习》3等差数列及其前n项和.docx

等差数列及其前n 项和目录01 考情解码・命题预警 102 体系构建·思维可视 303 核心突破·靶向攻坚 4知能解码 4知识点 1 等差数列的概念 4知识点 2 等差数列的有关公式 4知识点 3 等差数列的常用性质 4知识点 4 等差数列与函数的关系 5题型破译 5题型 1 等差数列基本量计数 5【方法技巧】等差数列基本量计算方法题型 2 等差数列判断与证明 ..............................................................................................6【方法技巧】判断证明等差数列的方法题型 3 等差数列角标和性质 ..............................................................................................7【方法技巧】等差中项角标和性质题型 4 等差数列前 n 项和性质 ......................................................................................... 8【方法技巧】等差数列前 n 项和性质题型 5 等差数列前 n 项和最值 ......................................................................................... 8【方法技巧】等差数列前 n 项和最值方法题型 6 等差数列实际应用 ............................................................................................... 10题型 7 等差数列奇偶项问题 11题型 8 含绝对值等差数列前 n 项和 .............................................................................. 11【方法技巧】含绝对值等差数列前 n 项和求和步骤题型 9 等差数列单调性 1304 真题溯源·考向感知 1305 课本典例·高考素材 14考点要求考察形式2025 年2024 年2023 年þ 单选题¨多选题þ 填空题þ 解答题全国二卷 T7，（5全国乙卷（文）T18（1），分）全国甲卷（文）T5，（5（5 分）（1） 等差数列的概念（2） 等差数列的通项公式与求和（3） 等差数列的性质全国一卷 T1（6 1），（5 分）北京卷 T5，（4 分）天津卷 T19（1），分）全国甲卷（理）T4，（5分）全国 II 卷 T12，（5 分）全国甲卷（文） T5，（5分）全国 I 卷 T7，（5 分）全国 I 卷 T20，（12 分）（5 分）北京卷 T14，（5 分）上海卷 T3，（4 分）天津卷 T19（1），（5 分）考情分析：（1） 选择题、填空题多单独考查基本量的计算．（2） 解答题多与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．复习目标：（1） 理解等差数列的概念．（2） 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式．（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．（4） 了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识点 1 等差数列的概念(1) 定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做 等 差 数 列 ， 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差 ， 通 常 用 字 母 d 表 示 ． 数 学 语 言 表 示 为 an+1 - an = d ( n Î N * )(或者 an - an -1 = d (n ³ 2) ）， d 为常数．(2) 等差中项：若 a ， A ， b 成等差数列，则 A 叫做 a 和b 的等差中项，且 A = a + b .2注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法： an+1 - an = d ( n Î N * )(或者 an - an -1 = d (n ³ 2) ）②等差中项法： an+1 + an-1 = 2an (n ³ 2)自主检测是首项1 = 4，公差 = 2 的等差数列，如果 = 2020，那么序号 =（ ）A．1009 B．1012 C．1008 D．1010知识点 2 等差数列的有关公式(1) 若等差数列 {an } 的首项是 a1 ， 公差是 d ， 则其通项公式为 an = a1 + (n -1)d ， 可推广为n ma = a + (n - m)d ( n, m Î N * *)．(2) 等差数列的前 n 项和公式 S = n(a1 + an ) = na + n(n -1)d (其中 n Î N * )． n 2 1 2自主检测设等差数列的前项和为，若2 + 4 = 0，22 + 6 = 2，则10 = .知识点 3 等差数列的常用性质已知{an } 为等差数列， d 为公差， Sn 为该数列的前 n 项和．(1) 等差数列{an } 中，当 m + n = p + q 时， am + an = ap + aq ( m, n, p, q Î N * )．特别地，若 m + n = 2 p ，则 am + an = 2ap ( m, n, p Î N * )．(2) 相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即 ak ，ak +m ，ak +2m ，…仍是等差数列，公差为 md ( k, m Î N * )．(3) {Sn } 也成等差数列，其首项与{a } 首项相同，公差为 1 d .n n 2(4) Sn ， S2n - Sn ， S3n - S2n …也成等差数列，公差为 n2d .（5）若数列{a },{b } 均为等差数列且其前n 项和分别为S , T ,则 an= S2n -1n n n n b Tn 2n -1自主检测已知等差数列的前项和为，且4 = 4, 8 = 10，则12 =（ ）A．16 B．18 C．24 D．26知识点 4 等差数列与函数的关系(1) 等差数列与一次函数的关系an = a1 + (n -1)d 可化为 an = dn + a1 - d 的形式．当 d ¹ 0 时， an 是关于 n 的一次函数；当 d > 0 时，数列为递增数列；当 d < 0 时，数列为递减数列．(2) 等差数列前 n 项和公式可变形为 S = d n2 + (a - d )n .当 d ¹ 0 时，它是关于 n 的二次函数，表示为 n 2 1 2nS = An2 + Bn ( A ， B 为常数)．自主检测等差数列中，若 = 32 + 2，则通项 = .题型 1 等差数列基本量计数例 1-1设等差数列的前 n 项和为．若1 + 3 = 6，1 + 4 = 8，则4 =（ ）A．6 B．7 C．8 D．9例 1-2已知等差数列的前项和为，且1 = 2，9 = 126，若 = 26，则 = .方法技巧 等差数列基本量计算方法等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1） 求公差 d 或项数 n ．在求解时，一般要运用方程思想．（2） 求通项． a1 和 d 是等差数列的两个基本元素．（3） 求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4） 求前 n 项和．利用等差数列的前 n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．【变式训练 1-1】已知等差数列的首项为 2，公差不为 0，且2, 3, 6成等比数列，则9等于（ ）A．-32 B．-30 C．-28 D．-26【变式训练 1-2】在等差数列中，1 + 2 = 1, 3 + 4 = 5，则2023 + 2024 =（ ）A．2022 B．2023 C．4044 D．4045【变式训练 1-3】已知等差数列的前 n 项和为，5 = 5 = 5，则公差 = .题型 2 等差数列判断与证明例 2-1在数列中，1 = 1，点, +1在直线 = + 2 上，则5 =（ ）4A．9 B．16 C．25 D．36例 2-2已知数列满足1 = 4, +1 = 4 − ∈ N* .1−2(1) 求证： 是等差数列.(2) 求数列的通项公式.方法技巧 判断证明等差数列方法判断数列{an}是等差数列的常用方法（定义法和等差中项法可用于证明）n+1 n（1） 定义法：对任意 n Î N*, a - a 是周一常数．（2） 等差中项法：对任意 n⛩2, n Î N* ，湍足 2an = an+1 + an-1 ．（3） 通项公式法：对任意 n Î N* ，都满足 an = pn + q( p, q 为常数）．n（4） 前 n 项和公式法：对任意n Î N* ，都湍足 S = An2 + Bn( A, B 为常数）．【变式训练 2-1】已知数列的前项和为，且+1 = + 2, 5 =− 35，则当取得最小值时，的值是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【变式训练 2-2】已知数列{ }满足 = 2，+1 = 2 − 1 （ ∈ ∗），令 = 1 . 1 (1) 求2, 3的值；−1(2) 求证：数列{}是等差数列，并求出数列{}的通项公式.【变式训练 2-3】数列满足1 = 1, 2 = 2, +2 = 2+1 − + 2. (1)求3, 4的值；(2)设 = +1 − ，证明是等差数列.题型 3 等差数列角标和性质5例 3-1（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知各项为正的等差数列的前项和为，且3 + 7 + 11 = 15 − 15，则7 ⋅ 8的最大值为（ ）A．254B．4 C．5 D．454例 3-2（2025·四川眉山·模拟预测）已知等差数列满足−1 + +1 − 2 = 0 > 1，且前 2 − 1 项和2−1 = 38，则 = .方法技巧 等差中项角标和性质n m n p q m－n m m＋n如果{a } 为等差数列，当 m + n = p + q 时，a +a = a + a (m ，n ，p ，q Î N * ) ．因此，出现 a ，a ，a等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 a （或其他项）有关的条件；若求 a 项，可由 a1= (a+ a )m转化为求 am-n + an+ m 的值．m m 2m－n m＋n【变式训练 3-1】（2025·辽宁·二模）已知等差数列满足2 + 4 + 6 = 3，3 + 5 + 7 = 9，则1 + 8 =（ ）A．1 B．32C．4 D。