2026《高考数学一轮复习》4等比数列.docx

等比数列（精讲）2考向一 等比数列基本量的计算【例 1-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列{an}的前n 项和为Sn ，且a1 + a3 = 4 ，a2 + a4 = 8 ，则 S5 =（ ）493A． 5B． 20 C． 1245134D． 5【例 1-2】（2025·广东·模拟预测）正项等比数列{a }及其前项和 S 满足：S = 10S ，S = a2 ，则 S 的值为（ ）n n 4 2 3 1 4A．416 B．468 C．520 D．607【例 1-3】（2025·重庆·三模）已知等比数列{an }的前 n 项和为 Sn ，公比为 q，且Sn+1 ， Sn ， Sn+2 ，成等差数列，则公比q = （ ）A． -2 或 1 B．2 或-1【一隅三反】C．1 D． -21．（2025·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列{a }的前 n 项和为 S ，若a = 1， S= 19 S，则a = （ ）nA．3 B．2 C． - 2 3n 2D． - 326 27 3 12．（2025·海南·模拟预测）已知{an}为各项均为整数的等比数列，且a2a4 = 16, a2 + 2a3 = 6，记 Sn 为{an}的前n 项和，则S7 = （ ）A．43 B．85 C．110 D．1273．（2025·辽宁大连·三模）已知正项等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若 S4 = 2S3 - S2 + 6, a2 = 1 ，则a5 = （ ）A．16 B．32 C．27 D．81考向二 等比数列的证明或判断【例 2-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列{a }中，a = 100 ，a = 100a 3 ，设b = lg a +1，证明数列{b }n 1 n+1 n n n n为等比数列，并求{bn }的通项公式；【例 2-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列{a }满足a = 1，a= ìan + 2, n为奇数，T 是数列{a }的前nn 1 n+1í2a , n为偶数 n nî n项和，记bn = a2n ．(1) 求证：数列{bn + 2} 是等比数列；(2) 求数列{bn }的通项公式；(3) 求T20 ．【一隅三反】1．（2025·新疆喀什·三模）记数列{a }的前 n 项和为 S ，已知a + S= 2n + 5n(1) 证明:数列{an - 2} 是等比数列；(2) 求数列{an}的通项公式；n n n 22．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列{a }中， a = 1 ， a= an(n Î N* ) .a - 1(1) 证明：{ 1}是等比数列；n1a(2) 求数列{ } 的前n 项和.nn 1 3nn+1 2 - aì2an + n -1, n为奇数63．（2025·河北邢台·二模）已知数列{a }满足a= 1, a = ï 1，记b = a，证明：数列{b }为n等比数列，并求出数列{an}的通项公式；1 n+1íïî an- n, n为偶数2n 2 n n考向三 等比中项【例 3-1】（24-25 高二下·辽宁朝阳·期中）在等比数列{an}中， a2 a8 = 16 ，则a5 = （ ）A．2 B．4 C． ±4 D． ±8【例 3-2】（2024·山东淄博·二模）已知等比数列{an },a2＝4,a10＝16, 则a6 = （ ）A．8 B．±8 C．10 D．±10【例 3-3】（2025 山东）在由正数组成的等比数列{an} 中，若a4 a5a6 = 3 ， log3 a1 + log3 a2 + log3 a8 + log3 a9 的为4 3 4A． 3 B． 4 C． 2 D． 33mx2 2【例 3-4】（2025·湖北黄冈·一模）已知实数4 ，， 9 成等比数列，则圆锥曲线 + y7m= 1的离心率为（ ）5A. 6【一隅三反】B.C. 306D. 30 或761．（2024·山东·一模）若m 是 2 和 8 的等比中项，则实数m 的值是（ ）A.5 B． -5 或 5 C．4 D． -4 或 42．（2025 云南曲靖·阶段练习）在等比数列{a }中， a , a 是函数 f (x) = 1 x3 + 4x2 + 9x -1的极值点，则a =n 3 7 3 5A. -4B. -3C. 3 D． 43．（2024·广东江门·一模）已知各项均为正数的等比数列{an}中，若a5 = 9 ，则log3 a4 + log3 a6＝（ ）A．3 B．4 C．8 D．94．（2025·河北）若等比数列{a }的各项均为正数，且a a + a a = 2e3 （ e 为自然对数的底数），则n 10 11 9 12ln a1 + ln a2 +L + ln a20 =（ ）A．20 B．30 C．40 D．505．（2024·江苏南通·二模）若cosa, cosæa- π ö , cosæa+ π ö 成等比数列，则sin2a= （ ）ç 6 ÷ ç 3 ÷A． 34B． - 36è ø è ø1C． 3D． - 14考向四 等比数列的简单应用【例 4-1】（2025·陕西安康·模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700 里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）A． 2.76 B． 5.51 C．11.02 D． 22.05【例 4-2】（2024·四川内江·一模）2024 年3 月12 日是第46 个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校8 个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第1组领取所有树苗的一半又加半包，第2 组领取所剩树苗的一半又加半包，第3 组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第8 组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（ ）A．127 B． 255 C． 316 D． 511【一隅三反】1．（2024·宁夏银川·三模）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元 583 年.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为 1 的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折 6 次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）A． 281B． 8C． 241D． 42．（2024·云南昆明·模拟预测）每年 6 月到 9 月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为 3 天（第四天完全凋谢），池塘内共有 2000 个花蕾，第一天有 10 个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的 2 倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）A.6 B．7 C．8 D．93．（23-24 高三下·山东济南·开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为a(a > 0) ，乙植物生长了一天，长度为16a .从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的 3 倍，乙每天的生长速度是前一天的 2 ，则甲的长度第一次超过乙2 3的长度的时期是（ ）（参考数据：取lg2 = 0.3, lg3 = 0.48 ）A．第 6 天 B．第 7 天 C．第 8 天 D．第 9 天考向五 等比数列片段和的性质【例 5-1】（2025·江西赣州·二模）设等比数列{an }的前 n 项和为Sn ，若 S20 = 21 ， S30 = 49 ，则 S10 = （ ）A． -7B．7 C．63 D．7 或 639【例 5-2】（2025·江西·二模）记Sn 为等比数列{an}的前n 项和，若a4 + a5 + a6 = -3, a7 + a8 + a9 = 9 ，则S15 =（ ）A．81 B．71 C．61 D．51【例 5-3】（2025 四川绵阳·阶段练习）已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若-5 ， S3 ， S6 成等差数列，则S9 - S6 的最小值为( )A. 25 B． 20 C．15 D．10【一隅三反】1．（2024·河南·模拟预测）记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 S3 = 9, S6 = 12 ，则 S9 = （ ）A．13 B．14 C．15 D．162．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列{an}的前n 项和为 Sn ，若 S8 + S24 = 140 ，且 S24 = 13S8 ，则S16 =（ ）A．40 B．-30 C．30 D．-30 或 403．（2025 河南）已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S8-2S4=5，则 a9+a10+a11+a12 的最小值为（ ）A．10 B．15 C．20 D．25考向六 等比数列前 n 项和的特征n n【例 6-1】（2025 湖北）在等比数列{a }中，已知前 n 项和 S = 2n + a ，则 a 的值为（ ）A.1 B．-1 C．2 D．-2【一隅三反】n n n 31．（2025·河北沧州·一模）已知S 为等比数列{a }的前 n 项和，若 S = 3 -l× 22n-2 ，则a = （ ）A．72 B． -72 C．144 D． -1442．（2024·甘肃金昌·期末）等比数列{an}的前n 项和 Sn= a × 3n - 2b ，则 a - b = （ ）2A. -2B. - 323C．0 D． 2n n n3．（23-24 江西吉安·期末）设等比数列{a }的前 n 项和为 S ，且 S = A × 2n + B ，则 A + B = （ ）A. -2B. -1C．0 D．2考向七 等比数列奇数项（或偶数项）的和【例 7-1】（2025·安徽）已知项数为奇数的等比数列{an }的首项为 1，奇数项之和为 21，偶数项之和为 10，则这个等比数列的项数为（ ）A．5 B．7 C．9 D．11【例 7-2】（2025 安徽）已知一个项数为偶数的等比数列{an }，所有项之和为所有偶数项之和的4 倍，前3 项之积为64 ，则a1 = （ ）A．1 B． 4 C．12 D． 36【一隅三反】。