广东省东莞市2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷.docx

2024－2025 学年度第二学期教学质量检查高一数学 参考答案题号12345678答案BDDCBCAD一、单项选择题题号91011答案BCDBCACD二、多项选择题（全部选对的得 6 分，选对但不全的部分得分，有选错的得 0 分）三、填空题12．92 13． - 57 1114. ， 5 4 6四、解答题15. 解：（1）由正弦定理得 3 sin B sin C -sin C cos B = 0 ， 2 分因为C Î(0, π)，所以sin C ¹ 0 ， 3 分所以 3 sin B - cos B = 0 ，即cos B = 3 sin B ， 4 分因为 B Î(0, π) ，所以sin B ¹ 0 ， 5 分所以tan B =3 ， 6 分3所以 B = p． 7 分6（2）方法 1：由余弦定理b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，得 a2 - 3a - 4 = 0 ， 9 分解得 a = 4 或 a = -1 （舍去）， 11 分所以 S= 1 ac sin B = 1 ´ 4 ´ 3 ´ 1 = ． 13 分3DABC 2 2 23 ´ 17方法 2：由正弦定理得sin C = c sin B =b因为c < b ，所以C < B = p，所以cos C =62 = 21 ， 8 分141-sin2 C= 5 7 ， 9 分14所以sin A = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sin C = 1 ´ 5 7 + 3 ´ 21 = 2 7 ， 11 分所以 S2 14 2 14 73= 1 ac sin B = 1 ´ 4 ´ 3 ´ 1 = ． 13 分DABC 2 2 2ì10a +10b = 0.4+ + =16. 解：（1）由题意得íî10(0.04 0.015 a) 0.6， 2 分íìa = 0.005,解得îb = 0.035.. 4 分所以考试成绩的众数的估计值为 75， 5 分1 2 1 2平均数的估计值为55 ´ 0.05 + 65 ´ 0.35 + 75 ´ 0.4 + 85 ´ 0.15 + 95 ´ 0.05 = 73 ． 7 分（2）记②组、④组的平均数与方差分别为 x , x , s2 , s2 ，则 x = 64, x = 84, s2 = 50, s2 = 70 ， 8 分1 2 1 2由题意得②组、④组分别有 14 人、6 人， 10 分所以②组、④组学生成绩的平均数为 x = 14 x + 6 x = 14 ´ 64 + 6 ´84 = 70 ， 12 分 所以②组、④组学生成绩的方差为20 120 220 20S 2 = 14 és2 + (x - x )2 ù + 6 és2 + (x - x )2 ù 13 分20 êë 1 1 úû 20 êë 2 2 úû= 7 ´ é50 + (64 - 70 )2 ù + 3 ´ é70 + (84 - 70 )2 ù ， 14 分10 ë û 10 ë û= 140 ，所以②组和④组所有学生成绩的方差为 140. 15 分17．（1）证明：如图，连接 AC ， 1 分因为四边形 ABCD 是正方形，所以点 E 是 AC 的中点，又因为 F 是 AP 的中点，所以 EF 是VACP 的中位线， 3 分所以 EF // PC ， 4 分又因为 EF Ë 平面 PBC ， PC Ì 平面 PBC ， 6 分所以 EF // 平面 PBC ． 7 分（2）如图，连接 EP ，由（1）得 E 是 AC 中点，因为 PA = PC ，所以 EP ^ AC ， 8 分又因为底面 ABCD 是正方形，且 AC ， BD 为对角线，所以 BD ^ AC ， 9 分又因为 BD ∩ EP = E ， BD ， EP Ì 平面 PBD ， 10 分所以 AC ^ 平面 PBD 11 分2所以直线 PC 与平面 PBD 所成角为ÐCPE ， 12 分2因为在 RtVCPE 中， CE = ， PC = 2， 13 分所以sin ÐCPE = CE = 1 ， 14 分PC 2因为ÐCPE 为锐角，所以ÐCPE = p，所以直线 PC 与平面 PBD 所成角的大小为p．15 分6 618. 解：（1）①当 n = 4 时，任意抛掷两次这个骰子的样本空间W1 = { (1,1) ，(1, 2) ，(1, 3) ，(1, 4) ， (2,1) ，(2, 2) ，(2, 3) ，(2, 4) ，(3,1) ，(3, 2) ，(3, 3) ，(3, 4) ，(4,1) ，(4, 2) ，(4, 3) ，(4, 4)}，所以 n(W1) = 16 ， 3 分记“游戏结果大于 5”为事件 A ，则事件 A 包含的样本点包括(2, 3) ，(2, 4) ，(3, 2) ，(3, 3) ，(3, 4) ，(4, 2) ， (4, 3) ， (4, 4) ，所以 n( A) = 8 ， 4 分由古典概型得 P( A) = n( A) = 8 = 1 ， 5 分n(W1) 16 21同理“游戏结果小于 5”的概率也是 ，2所以甲、乙获胜的概率相等，这种游戏是公平的 6 分②按甲、乙继续比赛赢得比赛的概率比值进行奖金分配，由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行 2 次“点数游戏”，假设再进行 2 次“点数游戏”，则 2 次“点数游戏”比赛结果的样本空间W2 = {（甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），（乙胜，乙胜）}，所以 n(W2 ) = 4 ， 8 分记“甲赢得比赛”为事件 B ，则事件 B 包含的样本点包括（甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），所以 n(B) = 3 ， 9 分由古典概型得 P(B) = n(B) = 3 ， 10 分 n(W2 ) 4所以“乙赢得比赛”的概率为 P(B) = 1 - P(B) = 1 - 3 = 1 ， 11 分4 4所以甲分配奖金100 ´ 3 = 75 元，乙分配奖金100 ´ 1 = 25 ． 12 分4 4（2）当 n = 8 时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间W3 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8} ，所以 n(W3 ) = 8 ，. 13 分构造事件 M = {1, 2, 3, 4}， N = {1, 2, 3, 5} ， Q = {1, 6, 7,8} ， 14 分则 MNQ = {1}， MN = {1, 2, 3}， MQ = {1} ， NQ = {1} ， 15 分由 古 典 概 型 得P(M ) = P(N ) = P(Q) = 12， P(MNQ) = 18， P(MN ) = 3 ，8P(MQ) = P(NQ) = 1 ， 16 分8所 以 P(MNQ) = P(M )P(N )P(Q) ， P(MN ) ¹ P(M )P(N ) ， P(MQ) ¹ P(M )P(Q) ，P(NQ) ¹ P(N )P(Q) ，满足题意． 17 分19. 解：（1）因为 SDBCD= 1 ´ BC ´ CD = 5 ，2所以当三棱锥 A¢ - BCD 的体积最大时，即点 A¢到平面 BCD 的距离最大，此时平面 A¢BD ^ 平面BCD ， 1 分如图，过 A¢作 A¢H ^ BD 于 H ，连接CH ，因为平面 A¢BD ^ 平面 BCD ，且平面 A¢BD ∩平面 BCD = BD ， A¢H Ì 平面 A¢BD ，所以 A¢H ^ 平面 BCD ， 3 分55因为在矩形 ABCD 中， AB = ， AD = 2 ，5所以在 RtDBA¢D 中， A¢B = ， A¢D = 2 5 ， cos ÐCBD = 2 5 ，5所以 BD = 5 ， A¢H = 2 ，故 BH = 1 ，135所以 HC2 = BC2 + BH 2 - 2BC × BH ×cosÐCBD = (2 5 )2 +12 - 2´ 2 5 ´1´ 2 5 = 13，故 HC = ，A¢H 2 + HC24 +1317所以 A¢C = = = ，¢ A¢D2 + DC 2 - A¢C 2 (2 5)2 + ( 5)2 - ( 17 )2 2所以cos ÐA DC =1- cos2 ÐA¢DC所以sin ÐA¢DC =2 × A¢D × DC== 21 ，5= ，2 ´ 2 5 ´ 5 521所以DA¢CD 的面积 S = 1 × A¢D × DC × sinÐA¢DC = 1 ´ 2 5 ´ 5 ´ 21 = ， 5 分2 2 5设点 B 到平面 A¢CD 的距离为 d ，则由V = V ，得 1 S´ d = 1 S´ A¢H ，B - A¢CD A¢- BCD3 △ A¢CD3 △BCD所以 d = S△BCD ´ A¢H = 5´ 2 = 10 21 ． 6 分S△ A¢CD21 21（2） 如图，在矩形 ABCD 中作 A¢H 的对应线段 AH ，延长 AH 的交 BC 于G ，在 RtDBHG 中，由 BH = 1， tan ÐDBC = 1 ，所以 HG = 1 ， BG = 5 ，2 2 2如图，在三棱锥 A¢ - BCD 中，由 A¢H ^ BD ， GH ^ BD ，所以ÐA¢HG 为二面角 A¢ - BD - C 的平面角，即ÐA¢HG = 120∘ ，. 8 分æ 1 ö2在△A¢HG 中， A¢G2 = A¢H 2 + HG2 - 2 × A¢H × HG ×cosÐA¢HG = 22 + ç ÷- 2´ 2´ 1 ´(- 1) = 21 ，è 2 ø2 2 4. 10 分5+( )22 æ 5 öç ÷- 212 ´ 5 ´ 5在△A¢BG 中，¢ A¢B2 + BG2 - A¢G2è 2 ø4 1 ． 12 分cos ÐA BG =2 A¢B ´ BG = = 52（3） 结论： cosq= cosg- cosacos b． 13 分sinasin b证明：如图，过 EF 上一点 P 作 PM ^ EF 交 EO 于点 M ，作 PN ^ EF 交 EG 于点 N ，连接MN，则ÐMPN 即二面角O - EF - G 的平面角，方法一：设 PE = 1,则在DMEP 中，得 ME = 1 , MP = sina，同理在DNEP 中，得 NE =cosa1 , NP = sin bcosacosb cosb在DM。