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应用等效法思维处理单摆周期问题陕西省宁强县第一中学 雍兴惠在摆角很小时，单摆的振动可以看作是简单谐振动，其振动周期与摆球质量及振幅无关，周期公式为 T=2π 式中 L 是悬点到球心的距离（即摆长） ；G 是单摆g所在地点的重力加速度，即单摆静止在平衡位置时绳的拉力的平衡力（重力）产生的加速度在此理想单摆模型的基础上应用“等效思维”的方法可以求解各种单摆的类单摆问题的周期一、非竖直平面内的单摆例如 1.如图 1 所示，一小球用长为 L 的不可伸长细线系于与不平面成 α 角的光滑斜面内，在最大偏角 θ 很小的情况下，此单摆的振动是简谐振动当摆球静止在平衡位置时，细线拉力 FT 的平衡力 F=mgsina，通过与竖直平面单摆的类比知其等效重力加速度 g= =gsina ，故其振动周期 T=2π msinLga二、非惯性参考系中的单摆周期公式 T=2π 适合于惯性系中单摆在竖直平面内Lg做小幅振动的情况，如果单摆处于做匀变速运动的非惯性参考系中，仍可类比竖直平面内的单摆，通过求解平衡位置（相对参考系静止的位置）时细线拉力的平衡力而得到等效重力加速度1. 参考系具有竖直方向的加速度时例 2.在一升降机中有一摆长为 L 的单摆，当升降机以加速度 a 竖直向上匀加速运动时，如图 2 所示,平衡位置仍在悬点正下方,根据牛顿第二定律易知摆球静止在平衡位置时，摆线拉力 FT 的平衡力 F=mg+ma，等效重力加速度 g＇ = =g+a，故其振Fm动周期 T =2π Lga+同理知，当升降机以加速度 a 减速上升时单摆振动周期 T=2π。

ga-2. 参考系具有水平方向加速度时例 3.如图 3 所示，在沿水平路面向左匀加速行驶的车厢内有一单摆，当它做小幅振动时，平衡位置（相对车厢静止的位置）不在悬点正下方，根据受力分析知摆球静止在平衡位置时，摆线拉力 F2 的平衡力 F= ，F 产生的等效重力22()mga加速度 g， = = ，故此单摆的振动周期 T=2π FM2a2L+三、复合场中的单摆当摆球带上电荷 q 而处于稳定的匀强电场中时，仍可采用等效思维的方法，把重力与电场（或磁场力）的合力等效为一个新的重力 G， ， 从而求出等效重力加速度 g， 1． 在重力场和电场中的单摆例 4．如图 4 所示，单摆处于竖直向下的科强电场中， 摆球的平衡位置在悬点的正下方，带正电的摆球静止在平衡位置时，摆线拉力 FT 的平衡力 F=mg+Eq，所以等效重力加速度 g， = =g+ ，振动周期FMEqmT=2π LEqgm+例 5．如图所示，单摆处于水平向右的匀强电场中，摆球平 衡位置与悬点的连线偏离竖直方向 θ 角（tanθ= ） ，当摆球在平衡位置处于静止时，Eqmg摆线拉力 FT 的平衡力：F= = 故其振动周22()(g+cos期：T=2π 。

cosLg2． 在磁场与重力场中的单摆例 6．如图 6 所示，匀强磁场与单摆摆动平面垂直，摆球的平衡位置仍在悬点正下方，当摆球在平衡位置静止时，摆线拉力 FT 的平衡力F=mg,F 产生的等效重力加速度仍为 g ，故周期仍为 T=2π Lg四、竖直面内的等效单摆当可视为质点的物体沿一段圆弧作往复运动，且弧长远小于圆周半径时，物体的运动可视为简谐振动，可将运动等效为单摆的振动，从而用 T=2π ，求的运动周期Lg例 7．如图 7 所示，竖直放置的半径为 R 的光滑弧槽内，将质量为 m 的弹性小球从 p 点无初速度的释放，小球在 PQ 间作往复运动，若 PQ《R ，则小球的往复运动可等效为悬点在圆心 O，摆长为 R 的单摆的振动当摆球在最低点（即平衡位置）静止时，圆弧槽对小球支持力 FN 的平衡力 F=mg，故 F 产生的等效重力加速度 g， = =g，所以小FM球的运动周期 T=2π Rg例 8．如图 8 中，半径为 r 的绝缘光滑环固定在竖直平面内，环上套有一质量为 m，带正电 q 的珠子，空间存在水平向右场强为 E 的匀强电场，将珠子从环的最低点 M 处由静止释放后，发现它将在 MN 间作往复运动，若 MN《r，则珠子的运动可等效为一悬点在 O，摆长为 r 的 单摆，其平衡位置在 MN 的中点时,环对珠子的支持力 FN 的平衡力为 F= = ,该力门生的等效得力加速度 g’= =22()(mgEq+cosg Fm,故珠子做往复运动的周期 T=2 。

cosgqrgp由以上分析可以发现，若物体（可视为质点）受到某种扰动时，能自由地在某位置附近沿一段圆弧做往复运动，且该段圆弧所对圆心角很小，则该物体的运动一般可等效为一悬占在圆心，摆长等于圆弧半径的单摆，等效得力加速度就是物体静止在平衡位置时，细线的拉力（或轨道支持力）的平衡力所产生的加速度，可用T= 求运动周期2lgp注:雍兴惠,中学一级教师,1992 年毕业于陕西师范大学物理系,毕业后一直在宁强一中从事高中物理教学工作本文发表于 2005 年 2 月 22 日出版的《数理报》理科综合版。