人教版高中不等式复习讲义含答案超经典.docx

不等式的根本学问（一）不等式及不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：　　　　　　　(2)传递性：(3)加法法则：；(同向可加)(4)乘法法则：；　　　　(同向同正可乘)(5)倒数法则：　　(6)乘方法则：(7)开方法则：2、应用不等式的性质比拟两个实数的大小：作差法（作差——变形——推断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种状况如下表： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最终用标根法求解解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分别变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式＞0在平面直角坐标系中表示直线0某一侧全部点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的推断方法由于对在直线0同一侧的全部点()，把它的坐标（)代入，所得到实数的符号都一样，所以只需在此直线的某一侧取一特别点（x00)，从00的正负即可推断＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特别地，当C≠0时，常把原点作为此特别点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目的函数：关于x、y的一次式是欲到达最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目的函数．③线性规划问题：一般地，求线性目的函数性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满意线性约束条件的解（）叫可行解．由全部可行解组成的集合叫做可行域．使目的函数获得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目的函数性约束条件下的最优解的步骤：（1）找寻线性约束条件，列出线性目的函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）根据线性目的函数作参照直线＝0，在可行域内平移参照直线求目的函数的最优解（四）根本不等式1．若∈R,则a22≥2,当且仅当时取等号.2．假如是正数，那么变形： 有≥；≤,当且仅当时取等号.3．假如∈·(定值),当且仅当时有最小值;假如∈,且(定值),当且仅当时有最大值.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）(根据目的不等式左右的运算构造选用) ；（2）a、b、，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。

不等式主要题型讲解（一） 不等式及不等关系题型一：不等式的性质1. 对于实数中，给出下列命题： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧，则其中正确的命题是题型二：比拟大小（作差法、函数单调性、中间量比拟，根本不等式）2. 设，，，试比拟的大小3. 比拟1+及的大小4. 若，则的大小关系是 .（二） 解不等式题型三：解不等式5. 解不等式 6. 解不等式7. 解不等式8. 不等式的解集为{1＜x＜2}，则, 9. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为10. 解关于x的不等式题型四：恒成立问题11. 关于x的不等式a x2+ a 1＞0 恒成立，则a的取值范围是 12. 若不等式对的全部实数都成立，求的取值范围.13. 已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围三）根本不等式题型五：求最值14. （干脆用）求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋15. （配凑项及系数）（1）已知，求函数的最大值2）当时，求的最大值16. （耐克函数型）求的值域留意：在应用根本不等式求最值时，若遇等号取不到的状况，应结合函数的单调性。

17. （用耐克函数单调性）求函数的值域18. （条件不等式）（1） 若实数满意，则的最小值是 .（2） 已知，且，求的最小值3） 已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.（4） 已知a，b为正实数，2b＋＋a＝30，求函数y＝的最小值.题型六：利用根本不等式证明不等式19. 已知为两两不相等的实数，求证：20. 正数a，b，c满意a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥821. 已知a、b、c，且求证：题型七：均值定理实际应用问题：22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），假如池外圈周壁建立单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建立单价为每平方米80元，池壁的厚度忽视不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价四）线性规划题型八：目的函数求最值23. 满意不等式组，求目的函数的最大值24. 已知实系数一元二次方程的两个实根为、,并且,．则的取值范围是 25. 已知满意约束条件： ,则的最小值是26. 已知变量（其中a>0）仅在点（3，0）处获得最大值，则a的取值范围为 。

27. 已知实数满意假如目的函数的最小值为，则实数等于（ ）题型九：实际问题28. 某饼店制作的豆沙月饼每个本钱35元，售价50元；凤梨月饼每个本钱20元，售价30元如今要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼及凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？复习――不等式的根本学问参考答案高中数学必修内容练习不等式1. ②③⑥⑦⑧；2. ；3. 当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝4. ∵ ∴（ ∴R>Q>P5. 6. 或；7. ）；8. 不等式的解集为{1＜x＜2}，则6, 69. ）.10. 解：当a＝0时，不等式的解集为； 2分当a≠0时，a(x－)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0不等式的解集为； 6分当0＜a＜1时，1＜，不等式的解集为； 8分当a＞1时，＜1，不等式的解集为； 10分当a＝1时，不等式的解为φ． 12分11. 0≤x＜412. ）13. 14. 解：（1）y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞） （2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）15. （1）解，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

2）当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为816. 解析一： 当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）解析二：本题看似无法运用根本不等式，可先换元，令＋1，化简原式在分别求最值当,即时,（当2即x＝1时取“＝”号）17. 解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故所以，所求函数的值域为18. （条件不等式）（1） 解： 都是正数，≥当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．（2） 解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，（3） 解：x＝x ＝x·下面将x，分别看成两个因式：x·≤＝＝ 即x＝·x ≤ （4） 解：法一：a＝， ＝·b＝ 　　　由a＞0得，0＜b＜15　　　令t＝1，1＜t＜16，＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8　　　∴ ≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立法二：由已知得：30－＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－≥2　　　令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3 　　　∴≤3，≤18，∴y≥19. 已知为两两不相等的实数，求证：20. 正数a，b，c满意a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥821. 已知a、b、c，且。

求证：证明：a、b、c，上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得当且仅当时取等号22. 解：　　若设污水池长为x米，则宽为 （米）　　水池外圈周壁长： （米）　　中间隔墙长： （米）　　池底面积：200（米2）　　目的函数： 　　　　　　　　≥ 23. 424. 25. 126. 27. 5 解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元　　　　　　 则x，y必需满意，　　　　　　 目的函数为z＝15x＋10y　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 在可行区內的顶点旁边z＝f ( x，y ) 的最大值，　 所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。