2023年天津市津南区九年级上学期数学期中试卷及答案一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 方程5x2－1＝4x化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是（ ）A. 4，－1 B. 4，1 C. －4，－1 D. －4，1【答案】C【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项；【详解】解：5x2－1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2－4x－1=0，它的二次项系数是5，一次项系数是−4，常数项是−1.故选C.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.2. 一元二次方程的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可．【详解】解：由题意可知：，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的情况，本题属于基础题型．根据根的判别式即可求出答案．3. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据配方法可直接进行排除选项．【详解】由配方法解方程时，方程可变形为；故选A．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．4. 已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（ ）A. ﹣2 B. ﹣ C. D. 2【答案】C【解析】【分析】直接利用根与系数的关系求解．【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，∴x1•x2＝．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两个根为x1,x2,则x1+x2=-，x1•x2=．5. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A. k＜ B. k＞﹣ C. k＞﹣且k≠0 D. k＜且k≠0【答案】D【解析】【分析】要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以k不为0．【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4﹣12k＞0，且k≠0∴k＜且k≠0，故选D．【点睛】本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．6. 抛物线的顶点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】抛物线的顶点坐标为 利用以上结论直接写出顶点坐标即可．【详解】解：∵ ， 抛物线的顶点坐标是 故选：A．【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线的顶点坐标是解题的关键．7. 如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是（ ）A. B. 图象的对称轴为直线C. 点B的坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．【详解】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a<0,故A选项正确；因为二次函数的解析式为，所以图象对称轴为直线，故B选项正确；因为二次函数的对称轴为直线，A,B两点是抛物线与x轴的交点，所以A,B两点到对称轴的距离相等，设B点坐标为（b,0）,则有b-(-1)=(-1)-(-3),解得b=1,所以B点坐标为（1,0）.故C选项正确；由图形可知当x-1时,y随x的增大而增大，当-10，∵对称轴位于y轴的右侧，∴，∴b<0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，故①正确；②∵对称轴为直线，a>0，∴2a>−b，即2a+b>0，故②错误；③由图可知：当x=−2时，y>0，∴4a−2b+c>0，故③正确；④∵当x=−1时，y=0，∴0=a−b+c0，故④正确．综上所述，有3个结论正确．故选：C．【点睛】本题考查了根据二次函数的图象与系数之间的关系，确定式子的符号，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 一元二次方程x2+3x=0的解是_____．【答案】0，-3【解析】【分析】利用提公因式法把方程变形为ab=0的形式，构成两个一元一次方程解答即可.【详解】x2＋3x＝0x（x+3）=0x=0或x+3=0解得x1＝0，x2＝－3.故答案为x1＝0，x2＝－3.【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是利用提公因式法把方程化为ab=0的形式.14. 若x=是一元二次方程的一个根，则n的值为 ____．【答案】．【解析】【分析】把代入到一元二次方程中求出的值即可．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，牢记方程的解满足方程，代入即可是解决此类问题的关键．15. 抛物线的对称轴是直线 _____．【答案】【解析】【分析】根据二次函数一般式的对称轴为即可得出答案．【详解】解：∵，∴抛物线对称轴为直线，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数一般式的对称轴为是解本题的关键．16. 赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为____m．【答案】20【解析】【分析】根据题意分别求出点A、B的坐标，计算即可．【详解】解：由题意得，﹣4 =﹣x2，解得x =±10，即点A的坐标为（﹣10，﹣4），点B的坐标为（10，﹣4），这时水面宽度AB为20m，故答案为：20．【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．17. 一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．【答案】98【解析】【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解．【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，依题意，得：，整理，得：，解得：（不合题意，舍去），，∴．故答案为：98【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．18. 设抛物线，其中a为实数．（1）若抛物线经过点，则______；（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．【答案】 ①. 0 ②. 2【解析】【分析】（1）直接将点代入计算即可（2）先根据平移得出新抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值【详解】解：（1）将代入得：故答案为：0（2）根据题意可得新的函数解析式为：由抛物线顶点坐标得新抛物线顶点的纵坐标为：∵∴当a=1时，有最大值为8，∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是故答案为：2【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法三．解答题（共8小题，共66分）19. 解下列方程（1）（配方法）；（2）（公式法）．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）原方程先将常数项移到等号右边，方程两边同加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求解即可；（2）方程运用求根公式求解即可．【小问1详解】解：，，即，∴，∴；【小问2详解】解：，∵，∴，∴【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20. 解下列方程（1）（2）．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法。
