2025届湖南省湖湘名校高三期初调研测试数学试题.doc

2025届湖南省湖湘名校高三期初调研测试数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内写在试题卷、草稿纸上均无效2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知函数，则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为；②函数的图象是轴对称图形；③函数的极大值为；④函数的最小值为．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．3．已知函数f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f（5）+f（﹣1）＝（ ）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．44．若直线与圆相交所得弦长为，则（ ）A．1 B．2 C． D．35．设i为虚数单位，若复数，则复数z等于( )A． B． C． D．06．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A．8 B．7 C．6 D．47．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）A． B． C． D．8．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（ ）A．0 B．1 C． D．9．复数的虚部为（ ）A． B． C．2 D．10．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A． B． C． D．11．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．12．定义在上的偶函数，对，，且，有成立，已知，，，则，，的大小关系为（ ）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺：问亭方几何？”大致意思是：有一个四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截取一段，使之成为正四棱台状方亭，且四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的高为________尺，体积是_______立方尺（注：1丈=10尺）.14．已知函数在处的切线与直线平行，则为________.15．公比为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为__________．16．已知，记，则的展开式中各项系数和为__________．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．18．（12分）设数阵，其中、、、．设，其中，且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（、、、）．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到、 ，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为．（1）若，写出经过变换后得到的数阵；（2）若，，求的值；（3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过．19．（12分）设，，其中．（1）当时，求的值；（2）对，证明：恒为定值．20．（12分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值．21．（12分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来，武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏，全国各地纷纷驰援.截至1月30日12时，湖北省累计接收捐赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套N95口軍47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资.已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元.求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？22．（10分）某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数23456甲设备5103050乙设备05151515（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和，求和的分布列；（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．D【解析】因为，所以①不正确；因为，所以，，所以，所以函数的图象是轴对称图形，②正确；易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可．当时，，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，③正确；因为，所以，所以函数的最小值为，④正确．故选D．2．C【解析】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.【详解】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为，由正弦定理可得，解得， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，所以，该几何体外接球的表面积为：.故选：C【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.3．C【解析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（5，f（5））与点（﹣1，f（﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，故它们关于点（2，1）对称，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．4．A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.5．B【解析】根据复数除法的运算法则，即可求解.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.6．A【解析】则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，从下往上第五层正方体的棱长为：，从下往上第六层正方体的棱长为：，从下往上第七层正方体的棱长为：，从下往上第八层正方体的棱长为：，∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选：A.【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.7．B【解析】根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解.【详解】从八卦中任取两卦基本事件的总数种，这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.故选：B【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．A【解析】根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.【详解】输入，，因为，所以由程序框图知，输出的值为.故选：A【点睛】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.9．D【解析】根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部.【详解】解：=，故虚部为-2.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.10．A【解析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．【详解】解：依题意，设．则．，．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．C【解析】显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.【详解】由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,故选:C【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.12．A【解析】根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解：对，，且，有在上递增因为定义在上的偶函数所以在上递减又因为，，所以故选：A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．21 3892 【解析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积.【详解】如图所示：正四棱锥P-A BCD的下底边长为二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺，截去一段后，得正四棱台ABCD-A'B'C'D'，且上底边长为A'B'=6尺，所以，解得，所以该正四棱台的体积是，故答案为：21；3892.【点睛】本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题.14．【解析】根据题意得出，由此可得出实数的值.【详解】，，直线的斜率为，由于函数在处的切线与直线平行，则.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.15。