信号系统与控制理论.ppt

10.4 稳定性与Liyaponov方法,1、理解Liyaponov稳定性的定义；,10.4.1 Liyaponov关于稳定性的定义,1. 系统的平衡状态,设初始条件（t0,x0）的唯一解为：,称为从初始条件（t0, x0） 出发的运动轨迹（运动、状态轨线）的xe,称为系统的平衡状态2、掌握稳定性的判定方法要求：,满足,例,其平衡点为,结论： ① 非线性系统的平衡点可能不唯一，也可能无 ② 任何一个平衡状态可以通过坐标平移至坐标原点xe =0处2. 关于稳定性的几个定义,定义,称为欧几里德范数即x与xe的距离1) Liyaponov意义下的稳定,称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定2) 渐近稳定,xe稳定且从初始状态出发的状态轨线收敛于xe3) 大范围渐近稳定,对所有的初始状态x0都渐近稳定4) 不稳定,由 s(δ )内出发的状态轨线至少有一根会越过s(ε) ，称xe不稳定,结论： ① x(t)有界， xe 稳定； ② x(t)有界且→0， xe 渐近稳定； ③ x(t)无界， xe 不稳定；,10.4.2 Liyaponov 第一法,线性定常（时不变）系统的稳定判据,系统在平衡状态xe=0渐近稳定的充分必要条件是A的所有特征值全部具有负实部，为内部稳定性。

若系统对于有界输入，所引起的输出有界，则称系统为输出稳定输出稳定的充要条件是W(s)=C(SI-A)-1b的极点全部位于s的左半平面例1 判定系统,的状态稳定性和输出稳定性解：由,得,故系统平衡状态不是渐近稳定的由,s=-1位于s的左半平面，因而系统输出稳定结论：只有系统无零、极点对消且系统的特征值与其极点相同时，系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致10.4.3 Liaponov 第二法,基本思想：构造虚拟广义的能量函数V(x)以此判定系统的稳定性适用范围：不能用传统方法判定系统的稳定性的情况下定义V(0)=0 的V(x) 为Liaponov函数,，亦称能量函数，,是标量函数1. V(x)的符号性质,正 定：,半正定：,负 定：,半负定：,不 定：,V(x) 0,V(x) ) ≥ 0,V(x) 0,V(x) ≤ 0,V(x) 0 或 V(x) 0例 对于x=[x1 x2 x3]T,,V(x) =x12+x22+x32,V(x) =(x1+x2 ) 2+x32,V(x) =x1 2+x22,2. 二次型标量函数,正定,半正定,半正定,④各主子行列式的值均≤ 0，且| P |=0， P半负定。

P为实对称阵，存在正交阵T，使当,时，有,称为二次标准型V(x)正定的充要条件是P的特征值均大于0P的符号性质：,V(x)正定，P正定，记为P0;,3. 希尔维斯特判据,实对称阵P符号性质的充分必要条件是：,① 各主子行列式的值均大于0， P正定；,② 偶数阶和奇数阶主子行列式的值分别大于0和小于0，P负定；,③ 各主子行列式的值均≥ 0，且| P |=0， P半正定；,V(x)负定，P负定，记为P0;,V(x)半正定，P半正定，记为P ≥ 0;,V(x)半负定，P半负定，记为P ≤ 0行列式的值为1，逆阵和转置阵相等4. Liaponov稳定性判据,的平衡状态为xe=0,有V(x)满足：,① 对x有连续一阶偏导；,② V(x) 正定则,①,②,为半负定，但对任意的x(t0) ≠0除x=0外的其它x ，,也渐近稳定；,③,注意： ①不能说找不到Liaponov函数V(x)，就作出否定的结论例1 判定,设,为负定，则渐近稳定；,为正定，不稳定为半负定，则稳定不恒为0，,更进一步，|| x ||→∞ ，有V(x) →∞，则为大范围渐近稳定的稳定性②平衡状态必须是坐标原点即 xe=0，否则须坐标平移。

解： xe =0,设,,易知其正定，则,故系统渐近稳定且当 || x ||→∞时 ，,有V(x) →∞，,所以为大范围渐近稳定例2 判定,的稳定性解： xe =0,设,易知其正定，则,半负定负定，,若,，必有x2=0,,由于,，因此必然x1=0 ，,只在平衡点才为0，其余不为0，,故系统是渐近稳定的亦即,且当 || x ||→∞时 ，,有V(x) →∞，,所以为大范围渐近稳定例3 确定,平衡状态大范围渐近稳定的条件解：由,设,,易知其正定，则,故系统平衡状态渐近稳定且当 || x ||→∞ 时，,有V(x) →∞，,所以该系统大范围渐近稳定，条件是a0 当a0时半负定可得xe =0若,，必有x2=0,,由于,，因此必然x1=0 ，,亦即,不恒为0,,例4 确定,平衡状态的稳定性解：,由状态方程可得,，平衡状态非坐标原点设,即,，则状态方程变为：,Liaponov 函数的说明,2、必须是应用于稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导；,1、构造Liaponov 函数没有确定的方法，要求有一定的技巧，一般用于非线性系统或时变系统的稳定性判定；,3、非唯一但不影响结论的正确性；,4、最简单的形式为二次型。

作业： P666 10.39、 10.43,设,,易知其正定，则,且当,，所以该系统大范围渐近稳定 若,，必有,，由于,，因此必然,，亦即,不恒为0易知其平衡状态为坐标原点时，有,课堂思考：确定,平衡状态大范围渐近稳定的条件5. Liaponov 方法的应用,1）线性定常连续系统渐近稳定判据,判据,的平衡状态xe =0 大范围渐近稳定,对于任意给,定的正定实对称矩阵Q,存在正定的实对称矩阵P，满足Liaponov方程：,是系统的Liaponov 函数且,说明：通常取Q=I举例,的稳定性判定系统,有,设,解：,解得,）且系统的Liaponov 函数是,（Riccati矩阵微分方程，解为,P正定，系统大范围渐近稳定2）线性时变连续系统渐近稳定判据,的平衡状态xe =0 大范围渐近稳定,对于任意,给定的连续实对称矩阵正定Q(t),必存在一个连续对称正定的矩阵P(t),,满足,,P,使下列矩阵,平衡状态xe =0渐近稳定的充分条件是：任给正定实对称矩阵,亦即Krasovski法,5) 非线性系统渐近稳定的Jacobian矩阵法,是系统的Liaponov 函数且,意给定的正定实对称矩阵Q,必存在一个正定的实对称矩阵P，满足,对于任,平衡状态xe =0大范围渐近稳定,4) 线性时变离散时间系统渐近稳定判据,且,是系统的Liaponov 函数。

意给定的正定实对称矩阵Q,必存在一个正定的实对称矩阵P，满足,平衡状态xe =0大范围渐近稳定,对于任,3) 线性定常离散时间系统渐近稳定判据,,,解:,例 分析系统,在xe =0 的稳定性若|| x ||→∞ ，有V(x) →∞，则为大范围渐近稳定是系统的一个Liaponov 函数正定，且,取P=I，则,Q(x)正定，且|| x ||→∞ ，有,则系统的平衡点xe =0为大范围渐进稳定。