2025版一轮高考总复习数学第二章　函数的概念与性质第四节　二次函数.docx

第四节　二次函数1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.2.能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题.1.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；（2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0）；（3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.2.二次函数的图象和性质解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）图象定义域RR值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）单调性在x∈（－∞，－b2a］上单调递减；在x∈　（－b2a，＋∞）　上单调递增在x∈（－∞，－b2a］上单调递增；在x∈　（－b2a，＋∞）　上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝　－b2a　对称提醒　注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（　×　）（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈[m，n]）的最值一定是4ac－b24a.（　×　）（3）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.（　√　）（4）二次函数y＝a（x－1）2＋2的单调递增区间是[1，＋∞）.（　×　）2.函数f（x）＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]上的值域为（　　）A.[－6，2]　 B.[—6，1]C.[0，2]　 D.[0，1]解析：A　函数f（x）＝－2x2＋4x的对称轴为直线x＝1，则f（x）在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f（x）max＝f（1）＝2，f（x）min＝f（－1）＝－2－4＝－6，即f（x）的值域为[－6，2].3.若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞）上单调递增，则t的取值范围是　（－∞，1]　　.解析：函数y＝x2－2tx＋3的图象开口向上，以直线x＝t为对称轴.又函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞）上单调递增，则t≤1.二次函数在闭区间上的最值设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），闭区间为[m，n]：（1）当－b2a≤m时，最小值为f（m），最大值为f（n）；33（2）当m＜－b2a≤m＋n2时，最小值为f－b2a，最大值为f（n）；（3）当m＋n2＜－b2a≤n时，最小值为f－b2a，最大值为f（m）；（4）当－b2a＞n时，最小值为f（n），最大值为f（m）.已知函数f（x）＝－2x2＋mx＋3（0≤m≤4，0≤x≤1）的最大值为4，则m＝　2　2　.解析：f（x）＝－2x2＋mx＋3＝－2x－m42＋m28＋3，∵0≤m≤4，∴0≤m4≤1，由结论可知，当x＝m4时，f（x）取得最大值，∴m28＋3＝4，解得m＝22.　　二次函数的解析式【例1】　已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式.解：法一（利用二次函数的一般式）　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.由题意得4a+2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a=8，解得a＝－4，b=4，c=7.故所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.法二（利用二次函数的顶点式）　设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）.∵f（2）＝f（－1），∴抛物线对称轴为x＝2+(-1）2＝12.∴m＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，∴f（x）＝ax－122＋8.∵f（2）＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f（x）＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三（利用二次函数的零点式）　由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），即f（x）＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a(-2a－1)-a24a＝8.解得a＝－4或a＝0（舍去），故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.解题技法求二次函数解析式的方法已知函数f（x）＝x2＋bx＋c，且g（x）＝f（x）＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求f（x）的解析式.条件①：函数f（x）在区间[－2，2]上的最大值为5；条件②：函数f（x）≤0的解集为{1}；条件③：方程f（x）＝0有两根x1，x2，且x12＋x22＝10.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.解：函数f（x）＝x2＋bx＋c，则g（x）＝f（x）＋2x＝x2＋（b＋2）x＋c，因为g（x）为偶函数，所以g（－x）＝g（x），即x2－（b＋2）x＋c＝x2＋（b＋2）x＋c，可得b＝－2，所以f（x）＝x2－2x＋c，图象开口向上，对称轴为直线x＝1.若选条件①，因为函数f（x）在区间[－2，2]上的最大值为5，所以f（－2）＝4＋4＋c＝5，解得c＝－3.所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x－3.若选条件②，由函数f（x）≤0的解集为{1}，可得f（1）＝0，即1－2＋c＝0，解得c＝1，所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x＋1.若选条件③，方程f（x）＝0有两根x1，x2，且x12＋x22＝10.由根与系数的关系可得x1＋x2＝2，x1x2＝c，又（x1＋x2）2＝x12＋x22＋2x1x2，所以4＝10＋2c，解得c＝－3.所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x－3.二次函数的图象和性质考向1　二次函数图象的识别【例2】　（多选）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1.给出下面四个结论中正确的为（　　）A.b2＞4ac　　　 B.2a－b＝1C.a－b＋c＝0 　 D.5a＜b解析：AD　因为图象与x 轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确.解题技法识别二次函数图象应学会“三看”考向2　二次函数的单调性与最值【例3】　已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3.（1）当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.解：（1）当a＝2时，f（x）＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，函数图象的对称轴为直线x＝－32∈[－2，3]，∴f（x）min＝f（－32）＝94－92－3＝－214，f（x）max＝f（3）＝15，∴f（x）的值域为［－214，15］.（2）函数图象的对称轴为直线x＝－2a－12.①当－2a－12≤1，即a≥－12时，f（x）max＝f（3）＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－13，满足题意；②当－2a－12＞1，即a＜－12时，f（x）max＝f（－1）＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.综上可知，a＝－13或a＝－1.解题技法二次函数最值问题的类型及求解策略（1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴变动、区间固定；③对称轴固定、区间变动.（2）求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴是指对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.1.设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（　　）解析：D　因为abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，c＜0，b＞0，不符合题意，故选D.2.已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　）A.[0，＋∞）　 B.（－∞，0]C.[0，4]　 D.（－∞，0]∪[4，＋∞）解析：C　由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）图象的对称轴为直线x＝2，又函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以由f（a）≥f（0）可得0≤a≤4.3.已知函数f（x）＝x2－tx－1，求当x∈[－1，2]时，f（x）的最大值G（t）.解：f（－1）＝t，f（2）＝3－2t，f（2）－f（－1）＝3－3t，当t≥1时，f（2）－f（－1）≤0，∴f（2）≤f（－1），∴f（x）max＝f（－1）＝t；当t＜1时，f（2）－f（－1）＞0，∴f（2）＞f（－1），∴f（x）max＝f（2）＝3－2t，综上有G（t）＝t，t≥1，3－2t，t<1.　一元二次方程根的分布　　解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：（1）判别式Δ的符号；（2）对称轴x＝－b2a与所给区间的位置关系；（3）区间端点处函数值的符号.一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但基本可以分为以下三类：一、已知两根与实数k的大小关系根的分布情况（以a＞0为例）两根都小于k两根都大于k一个根小于k，一个根大于k图象的大致形状满足的不等式（组）Δ≥0，－b2a＜k，f（k）>0Δ≥0，－b2a＞k，f（k）>0f（k）＜0【例1】　（1）若关于x的方程x2＋（a2－1）x＋a－2＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是（　C　）A.（－1，1）B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）C.（－2，1）D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）（2）已知方程2x2－（m＋1）x＋m＝0有两个不相等的正实数根，则实数m的取值范围是　（0，3－22）∪（3＋22，＋∞）　.解析：（1）设f（x）＝x2＋（a2－1）x＋a－2，依题意有f（1）＜0，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1，故选C.（2）设f（x）＝2x2－（m＋1）x＋m，依题意有Δ>0，－-(m+1）2×2>0f（0）>0，，即（m+1）2－8m>0，m＞－1，m>0，解得0＜m＜3－22或m＞3＋22.点评　当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0.二、已知两根所在的区间根的分布情况（以a＞0为例）两根都在（m，n）内有且仅有一根在（m，n）内一根在（m，n）内，另一根在（p，q）内，且m＜n＜p＜q图象的大致形状（a＞0）满足的不等式（组）Δ≥0，f（m）>0，f（n）>0，m＜－b2a＜nf（m）·f（n）＜0f（m）>0，f（n）<0，f（p）<0，f（q）>0或f（m）f（n）<0，f（p）f（q）<0【例2】　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求实数 m的取值范围；（2）若方程两根均在区间（0，1）。