概率论与数理统计：第5这章 随机变量的数字特征.ppt

第第5章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 5.1 数学期望数学期望 5.2 方差与标准差方差与标准差 5.3 协方差与相关系数协方差与相关系数 *5.4 矩矩 *5.5 条件数学期望条件数学期望(条件均值条件均值) 随机变量的数字特征是能够描述随机变量基本面貌和代表随机变量主要特征的数字5.1 5.1 数学期望数学期望5.1.1 5.1.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望 随机变量的数学期望是随机变量所有取值的加权平均值，也简称为均值均值1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 定义定义1 若离散型随机变量X的概率分布律是 P(xi)=PX=xi=pi (i=1,2,3,) 且级数 绝对收敛( )，则称此级数 为X的数学期望(或均值)，记为EX即 说明说明： 离散型随机变量的数学期望等于随机变量的各个取值与对应概率的乘积之和 均值与X的取值x1,xn,的排列次序无关，故要求 绝对收敛，若此级数不绝对收敛，则称EX不存在例例1 1 甲、乙两射手的稳定成绩分别为试比较甲、乙两射手孰优孰劣解解：甲的平均环数 乙的平均环数 故可认为甲略优于乙 上述算法明确体现了加权平均的思想：若变量X取值xi的概率p(xi)较大，则这个xi就对平均数的影响较大(或贡献较大)。

概率p(xi)具有权衡xi地位轻重的作用，称为权重系数 加权平均的思想不同于算术平均的思想 随机变量的数学期望代表了随机变量取值的集中位置随机变量的数学期望代表了随机变量取值的集中位置X(甲环数)8910概率0.30.10.6Y(乙环数)8910概率0.20.40.4例例2 若X服从二项分布B(n,p)，求EX解解 该结果说明：具具有有概概率率p的的事事件件A在在n重重伯伯努努利利试试验验中中平平均均出出现现np次例例3 若X服从泊松分布P()，求EX解解 X服服从从泊泊松松分分布布时时，EX=说说明明事事件件A在在一一个个n重重伯伯努努利利试试验验试验中平均出现试验中平均出现次 例例4 4 几何分布的期望 若P(X=k)=pqk-1 ( k=1,2,)， 则 证明证明 例例5 5 若X取值 对应的概率值为 讨论其EX存在与否解解例例6 6 设想这样一种博彩游戏，博彩者将本金1元压注在1到6的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字出现i次(i=1,2,3)次，则下注者赢i元，否则没收1元本金，试问这样的游戏规则对下注者是否公平？解解 设下注者的每1元注金带来的盈利是个随机变量X X的一切可能值为：-1, 1, 2, 3 可以用考察EX是否等于零来评价这一游戏规则对下注者是否有利。

设掷3颗骰子，恰好出现所压的数字的次数为Y，则 YB(3,1/6) 而Y=0时,X=-1; Y=1时, X=1; Y=2时, X=2; Y=3时, X=3；所以，X的分布律为 由于平均赢利小于0，故这一游戏规则对下注者是不利的(每平均玩216次，下注者将输17元) 离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望 一维离散型随机变量函数的数学期望一维离散型随机变量函数的数学期望 设X是离散型随机变量， Y=f(X)是X的函数 X的分布律是：P(X=xi)=pi i=1,2,3, 若 绝对收敛( )，则函数f(X)的数学期望存在，记为Ef(X)，且有 二维二维离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 PX=xi,Y=yj=pij (i,j=1,2,)如果 收敛，则g(X,Y)的数学期望存在，记为Eg(X,Y)，且有例例7 设X的分布律为求EX， E(-X+2) , EX2解解 EX=(-1)(1/8)+0(1/4)+1(3/8)+3(1/4)=1 E(-X+2)=-(-1)+2(1/8)+(-0+2)(1/4)+ +(-1+2)(3/8)+(-3+2)(1/4) =1 EX2=(-1)2(1/8)+02(1/4)+12(3/8)+32(1/4)=22/8X-1013P1/81/43/81/42.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义定义2 若随机变量X有密度函数(x)，且积分收敛，则称积分 为X的数学期望，记为EX，即例例8 设X服从正态分布N(,2)，求EX。

解解所以， X服从正态分布N(,2)时，EX=积分函数是奇函数，在(-,+)内积分为0例例9 设X服从(a,b)内的均匀分布，求EX解解 X的密度函数为可见，均匀分布的数学期望是区间(a,b)的中点例例10 设X服从参数a0的指数分布，求EX解解 X的密度函数为 连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望 一维连续型随机变量函数的数学期望一维连续型随机变量函数的数学期望 对连续型随机变量X的函数g(X), X的密度函数为(x) , 若积分 收敛，则积分 称为连续型随机变量X的函数g(X)的数学期望，记为Eg(X), 即证明略但该结论很重要，给出了计算连续型随机变量的函数的数学期望的方法 例例1111 设X服从柯西分布，证明EX不存在证证 X的密度函数为 所以， X服从柯西分布时，EX不存在例例1212 若X服从0, 2上的均匀分布，求E(sin X)解解 X的密度函数：绝对收敛，所以E(sinX)存在，且 二维连续型随机变量函数的数学期望二维连续型随机变量函数的数学期望 设二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)，如果 收敛，则g(X,Y)的数学期望存在，记为Eg(X,Y) ，且有特别有式中fX(x) 和fY(y)分别为为X和Y的密度函数。

例例12 设二维连续型随机变量(X,Y)服从半圆域D上的均匀分布，其中D=(x,y):x2+y21,y0，求EX,EY和EX3Y解解 (X,Y)的联合密度函数为 5.1.3 5.1.3 数学期望的性质数学期望的性质性质性质1 1 一个常数c的数学期望等于这个常数，即 Ec=c证证 将常数c看成一个离散变量，它服从单点分布，即X=c, P(X=c)=1, 由定义得 Ec=EX=cP(X=c)=c1=c性质性质2 设c是常数，若X的数学期望EX存在，则EcX也存在， 且有 EcX=cEX证证 以连续型X为例设X的密度函数为(x), 而积分 由于EX存在且收敛，故EcX存在故有性性质质3 若随机向量(XY)的数学期望(EX,EY)存在，则X+Y的数学期望也存在，且有 E(X+Y) = EX+EY 证证 以连续型(XY)为例设联合密度函数为f(x,y), 类似地，若随机变量的函数f(X)，g(Y)的数学期望Ef(X)，Eg(Y)存在，则f(X)+g(Y)的数学期望也存在，且有特别的性性质质4 若随机向量(XY)的数学期望EX，EY存在，且XY相互独立，则E(XY)也存在，且有 E(XY) = EXEY证证 以连续型(XY)为例。

设联合密度函数为(x,y), 性质性质5 如如aXb，则，则EX存在，且存在，且aEXb 利用数学期望的性质，可使一些随机变量的数学期望的 计算简化 这些性质还可以推广到n个随机变量X1, X2, , Xn E(c1X1+c2X2+cnXn )=c1EX1+c2EX2+cnEXn 若X1, X2, , Xn 相互独立，则 E(X1X2Xn)= EX1EX2 EXn例例1414 在n次独立试验中，每次成功的概率为p，设Xi为“第i次试验成功的次数”，则Xi有分布律 其中 i=1,2, ,nn次试验中成功的次数Y=X1+X2+Xn ，求EY解解 因为 P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p , EXi=1p+0(1-p)=p (i=1,2,n) EY=E(X1+X2+Xn)=EX1+EX2+EXn=np 由此可知，当随机变量服从参数为n,p的二项分布时，其数学期望为二项分布的期望，即YB(n,p)，EY=np 随随机机变变量量的的数数学学期期望望由由其其概概率率分分布布完完全全决决定定，具具有有相相同分布的随机变量必定有相同的数学期望同分布的随机变量必定有相同的数学期望Xi01概率1pp5.2 5.2 方差与标准差方差与标准差 在解决实际问题时，常常除了要了解随机变量的数学期望外，还需了解随机变量的取值在数学期望附近波动的情况。

例例1515 甲、乙两个化验员分析同种样品各5次，得下表结果：由此求得 虽然其均值相同，但甲分析的结果发散程度(波动程度)较小，乙的发散程度较大，说明甲的分析比乙的分析稳定甲(X)5.25.15.04.94.8乙(Y)6.05.55.04.54.0 如何表示发散程度随机变量的取值偏离重心EX的程度？想法想法1： 绝对值在求导数和积分计算中较麻烦，而X-EX有可能因正负抵消而使E(X-EX)=0想法想法2： 用平方项可避免在计算中的麻烦，反映随机变量取值的波动程度时可采用此方法5.2.1 方差与标准差方差与标准差定定义义 设X是随机变量, 若E(X-EX)2存在, 则称E(X-EX)2为X的方差，记为DX(或VarX) , 即 DX=E(X-EX)2 对非负数DX，因其量纲是X量纲的平方，不便使用，故 在 应 用 中 引 入 与 随 机 变 量 X量 纲 相 同 的 量 ， 并 称 为标准差或均方差，记为(X)，即 (1)对离散型随机变量X，若已知其分布律P(X=xi)=pi, (i=1,2,)则(2) 对连续型X，若已知密度函数x，则计算方差的常用公式计算方差的常用公式：证证 由于EX是一个常数，故有 方方差差小小，说说明明随随机机变变量量所所取取的的值值密密集集分分布布在在其其数数学学期期望左右；望左右； 方方差差大大，说说明明随随机机变变量量所所取取的的值值与与其其数数学学期期望望差差异异较较大大( (较分散较分散) )。

方差是刻划随机变量方差是刻划随机变量X取取值波波动程度的一个量程度的一个量例例1515 甲、乙两射手的稳定成绩分别为试计算甲、乙两射手成绩的方差和标准差解解X(甲环数)8910概率0.30.10.6Y(乙环数)8910概率0.20.40.4 由于EX=9.3，EY=9.2，从平均成绩看，甲略优于乙；又由于X=0.90(环)，Y=0.75(环)，从成绩的稳定性看，乙比甲稳定例例16 设随机变量X服从(01)分布，求DX 解解 X服从(01)分布，即 PX=1=p， PX=0=1-p=q EX=1p+0q=p EX2=12p+02q=p所以 DX= EX2- -(EX)2=p- -p2=p(1- -p)=pq例例17 设随机变量X服从(a,b)上的均匀分布，求DX 解解例例18 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，求DX和 例例19 设随机变量X服从泊松分布P()，求DX 解解例例20 设随机变量X服从正态分布N(,2)，求DX 解解 可见，正态分布N(,2)中的参数就是标准差，2是方差例例21 几何分布的方差：若PX=k=qk-1p k=1,2, 则 证证例例2222 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过 。

证证 设X表示事件在一次试验中发生的次数，即例例23 设随机变量X服从参数为a的指数分布，求DX解解 分分 布布 类类 型型 数学期望数学期望方差方差二项分布XB(n,p) PX=k= q=1-p, 0knnpnpq泊松分布XP() PX=k= k=0,1,几何分布XG(p) PX=k=pqk-1 k=1,2,; q=1-p 均匀分布XUa,b 指数分布XE(a) 正态分布XN(,2)25.2.2 方差的性质方差的性质性质性质1 Dc=0 (c是任意常数)证明证明 Dc=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0(DX=0的充分必要条件是：X以概率1取常数c；即 P(X=c)=1)性质性质2 D(cX)=c2DX (c是任意常数)证明证明性质性质3 D(X+c)=DX证明证明性质性质4 当当X Y相互独立时，相互独立时，D(X Y)=DX+DY证证性质4可推广到如下情形： 若X。