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第三章 流体运动学基础 §3—1 研究流体流动的方法 一、基本概念一、基本概念 场－设在空间的某个区域内定义了标量函数或矢量函数，则称定义了相应函 数的空间区域为场如果研究的是标量函数则称此场为标量场；如果研究的是矢 量函数，则称之为矢量场；如果同一时刻场内各点函数的值都相等，则称此场为 均匀场，反之为不均匀场，如果场内函数不依于时间，即不随时间改变，则称此 场为定常场，反之称为不定常场场的分类如下： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ 密度场 压力场 标量场 力场 速度场 矢量场 流场―充满运动流体的场称为流场 二、研究流体运动的欧拉法二、研究流体运动的欧拉法 欧拉法―欧拉法是通过下列两个方面来描述整个流场情况的： （1）在空间固定点上流体的各种物理量（如速度、压力）随时间的变化 （2）在相邻的空间点上这些物理量的变化 1、速度表示法 欧拉法是以流场中每一空间位置作为描述对象，描述在这些位置上流体的物 理参数随时间的变化显然，同一时刻，流体内部各空间点上流体质点的速度可 以是不同的，即V r 是（x, y, z）的函数同一空间点上，不同时刻，流体质点的 速度也是不同的。

即V r 又是 t 的函数另一方面 x , y , z 又可以看作是流体质点的 坐标，而流体质点的坐标又是时间的函数 因此： x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) ),,,( ),,,( ),,,( tzyxww tzyx tzyxuu = = = υυ 故：V r =V r (x, y, z, t) 同理： ),,,(tzyxpp = ),,,(tzyxρρ= 2、流体质点的加速度 流体质点的加速度为： t V a d d r r = 则： z u w y u x u u t u t z z u t y y u t x x u t u t u ax ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ==υ d d z w yx u tt ay ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ == υυ υ υυυ d d z w w y w x w u t w t w az ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ==υ d d 用矢量表示为： VV t V t V a rr rr v )( d d ∇⋅+ ∂ ∂ == 其中 y k y j x i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ vvv 为哈密顿算式。

对于密度有： ρ ρρ )( d d ∇⋅+ ∂ ∂ =V tt r z w yx u t∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ρρ υ ρρ 显然 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = 0 d d 0 d d t t ρ ρ 对可压缩流体 对不可压流体 三、研究流体运动的拉格郎日法三、研究流体运动的拉格郎日法 拉格郎日法—着眼于个别流体质点运动的研究（既跟踪流体质点） ，研究流 体内个别流体质点在不同时间，其位置、流速、压力的变化，综合所有流体质点 的运动，即可得到整个流场的运动规律（在研究流体的波动与震动时用到） 令流体质点的矢径为),,,(tcbarr vv =，其中a、b、c代表初始时刻（t=t0时） 流体质点的坐标显然，不同的a、b、c代表不同的流体流点，则在直角坐标系 中，流体质点的坐标为： x=x (a、b、c、t) y=y (a、b、c、t) z=z (a、b、c、t) a、b、c、t又称为拉格朗日变数若固定a、b、c而令t变，得某一流体质 点的运动规律；若固定t，令a、b、c变，则得到某一时刻，不同流体质点的位 置分布函数注意，r v 的定义域不是场，因它不是空间坐标 x、y、z 的函数，而 是质点标号a、b、c的函数。

§３—2 系统与控制体 一、系统一、系统 系统的特点： 1、从流体中取出的一定质量的流体； 2、与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点） 0 d d = t m ； 3、系统的体积和形状可以随时间改变，例如研究某一班同学 4、在系统的边界上可以有能量交换 二、控制体二、控制体 控制体的特点： 1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制 面 2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位 置均不变 （例如研究某教室） 3、在控制面上可以存在质量及能量交换 三、欧拉法中物理量对时间的全导数三、欧拉法中物理量对时间的全导数 设N为t瞬时，系统内流体具有的某种物理量；η表示单位质量流体具有的 这种物理量在流场中任选一控制体（实线）II在t瞬时，系统与所选的控制体 相重合，系统所占的空间体积为II在这里用v代表体积，V代表速度 t+δt瞬时，由于系统内流体的流动，系统所占的空间体积为III＋II’，则δt 时间间隔内，系统内某种物理量η的增量为： II 控制体 系统 II II I x y z o tttttttt vvvNNN)d()dd( IIIII II ∫∫∫ −+=−= ′ ηρηρηρ δδ △ 式中vd为微元体积，上式右边加上并减去 tttδ νηρ)d( I∫ ，用δt通除再取极限 得： ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ −+ = −∫∫∫∫∫′ → + → t v t v t vvv t NNtttttttttt t ttt t δ ηρ δ ηρ δ ηρηρηρ δ δδδ δ δ δ )d()d()d()dd( limlim 00 ⅠⅢⅡⅠⅡ (a) 对（a）式左端取极限为： t N t NN tttt t d d lim = − → δ δ δ (b) 上式称为系统导数或系统内某种物理量对时间的变化率。

下面分析（a）右端各项的物理意义其中（a）式右端第一项的物理意义， 对（a）式右端第一项取极限为： ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ ∫∫∫ ′ → t tttt t δ νηρνηρνηρ δ δ )d()dd( II II I 0 lim ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ∫∫ → t tttt t δ νηρνηρ δ δ )d()d( II II 0 lim νηρd II ∫ ∂ ∂ = t νηρd cv∫ ∂ ∂ = t (c) （c） 式表示控制体内流体所具有的某种物理量对时间的变化率νηρd II ∫ 这 一项既是时间的函数，又是所取积分体积的函数，所以用偏导数并且cv=Ⅱ， 而cv表示对控制体的积分 （a）式右端第二项的物理意义 νρd ∫Ⅲ 是δt时间内从控制体Ⅱ流出的流体质量，νηρd ∫Ⅲ 是δt时间内从 控制体Ⅱ流出的流体所具有的某种物理量 t ttt δ νηρ δ )d(∫ Ⅲ 则表示单位时间内从控 制体Ⅱ流出的某种物理量的平均值 A v d V r α 如上图，在面积A2上取微元面积A v d，其上流速为V r ，单位时间从微元面积 上流出的流体质量为AV vr d⋅ρ，单位时间从微元面积上流出的流体所具有的某种 物理量为AV vr d⋅ηρ，则单位时间为从A2流出的物理量应是∫⋅ 2 d A AV vr ηρ。

而 ∫ ∫ ⋅= → 2 d )d( lim 0 A ttt t AV t vvr ηρ δ ηρ δ δ Ⅲ （a）右端第三项的物理意义： ttt dv δ ηρ)(∫Ⅰ表示δt时间间隔内流进控制体的流体具有的某种物理量同理， 单位时间内从A1流进的这种物理量应是： ∫ ∫ ⋅−= → A ttt t AV t vvr d )d( lim 0 ηρ δ ηρ δ δ Ⅰ “－”号是因为在流入条件下，AV vr d⋅或（cosα）为负值其中A v d表示控制 面的微元面积矢量，nAA v v dd=，n v 为 dＡ的法向单位矢量，垂直于控制面，规定 向外为“＋” 经过整个控制面的某种物理量的通量为： ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −=⋅+⋅ ∫∫ ∫∫ → t v t v AVAV tttttt t AA δ ηρ δ ηρ ηρηρ δδ δ )d()d( dd III 0 lim 12 Ⅰ vrvr 而： AVAVAV cs AA vrvrvr ddd 12 ⋅=⋅+⋅ ∫∫∫ ηρηρηρ (d) 其中A1+A2 =CS（控制面） ，对(1)取极限，将 (b)、(c)、(d)代入(a)则； ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ −+ = − ∫∫∫∫∫ ′ → → t v t v t vvv t NN tttttttt t tttt t δ ηρ δ ηρ δ ηρηρηρ δ δδ δ δ δ )d()d()d()dd( lim lim 0 0 ⅠⅢⅡⅠⅡ AVv tt N cscv vr dd d d ⋅+ ∂ ∂ = ∫∫ ηρηρ (e) A v d V r α 或AVv tt N ncscv dd d d ⋅+ ∂ ∂ = ∫∫ ηρηρ (f) 式中：Vn―为控制面法线方向的分速度。

式(e)表明： 控制体内部Ｎ对时间的变化率＝控制体内Ｎ对时间的变化率＋单 位时间经过控制面的Ｎ的净通量 对定常流动 0d = ∂ ∂ ∫ v t cvηρ 则： AV t N ncs d d d ⋅=∫ηρ (g) 即在定常流动的条件下，整个系统内部的流体所具有的某种物理量的变化只 与通过控制面的流动有关 §３—3 流体流动的几个基本概念 一、迹线、流线一、迹线、流线 1、迹线―某一流体质点在一段时间内运动的轨迹对应拉格朗日方法 2、流线―流线是这样一条空间曲线，在某一瞬时，此曲线上每一点的速度 矢量总是在该点与此曲线相切 下面推导流线微分方程： 设流线上某点Ｍ（x、y、z）处的速度为V r ，在坐标轴上的投影为u、υ、w， 而ds为过Ｍ点的微元流线段，在三个坐标轴的分量为dx、dy、dz 根据流线定义 V r 与ds相切 则： ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =⇒== =⇒== =⇒== w z V s sV w zV y V s sV yV u x V s s x V u xV dd d d ) ˆ ,cos( dd d d ) ˆ ,cos( dd d d ) ˆ ,cos( ω υ υυ r r r 得流线微分方程： V s w zy u xdddd === υ 或由 0dd 0dd 0dd ddd=− =− =− ⇒=× zuyw ywz xyu zyx wu kji sdVυ υ υ vvv v r 在定常流动中， 由于流场中任意点速度的大小、 方向均不随时间而变。

所以， 流线也不随时间变化换言之，流线的形状始终不变此外在定常流动条件下， 任意一流体质点总有自己确定的轨迹， 且流线上质点的迹线与流线重合， 或者说， 流线上的质点沿流线运动流线不能相交，因为在同一瞬时，同一空间点上不可 能有几个流动方向但对驻点（υ＝0） 、奇点（υ=∞）例外 总结上述归纳为： 1．常流动时，流线与迹线重合，且流线形状及位置始终不变而在非定常 流动时，流线要随时间变化 2．一般情况下，流线不能相交 3．实际管道的边界线以及潜体的边界，也就是一系列的流线，在固体边界 上，不存在与该边界正交的速度分量 二、流管、流束、流量二、流管、流束、流量 流管―在流场内任取一不是流线的封闭周线（曲线） ，通过封闭曲线上各点 的流线所构成的管状表面称为流管 流束―流管中的流线族称为流束 总流―当流体在管道中流动时， 把整个管子 （或渠道） 中的流体看总的流束， 又称为总流 根据流线定义，因流动速度总是与流线相切，垂直于流线的速度分量必定为 零，所以： 1、流体不能穿过流管流进流出，否则流线相交，即流管与真实管道相似 实际管道的边界线或任何潜体的边界也可看作是一系列流线 2、对定常。