2022年高中数学 第二章 三角恒等变形 2.3两角和与差的正切函数 新人教A版必修4.doc

2022年高中数学 第二章 三角恒等变形 2.3两角和与差的正切函数 新人教A版必修41．问题导航(1)公式Tα±β中α，β的取值范围是什么？(2)如何由公式Tα－β推出公式Tα＋β？(3)公式Tα－β和公式Tα＋β有何不同？2．例题导读 P121例4.通过本例学习，学会直接运用公式Tα±β求值． 试一试：教材P123习题3－2 A组T6你会吗？ P122例5.通过本例学习，学会运用公式Tα±β化简求值． 试一试：教材P123习题3－2 A组T2(5)(6)你会吗？ P122例6.通过本例学习，学会运用公式Tα±β求值． 试一试：教材P123习题3－2 A组T7你会吗？ 两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan (α＋β)＝Tα＋βα，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)两角差的正切tan (α－β) ＝Tα－βα，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)(3)tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．(　　)解析：(1)正确．当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立．(2)错误．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．(3)正确．当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子，当tan αtan β＝1时，α＋β＝＋kπ，k∈Z，tan(α＋β)无意义，所以后一个式子两边同除以1－tan αtan β可得前一个式子成立，两式等价．答案：(1)√　(2)×　(3)√2．已知cos α＝－，且α∈，则tan等于(　　)A．－　　　　　　　　 B．－7C. D．7解析：选D.因为cos α＝－，且α∈，所以sin α＝.所以tan α＝＝－，所以tan＝＝7.3．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)＝________．解析：因为tan α＝3，tan β＝，所以tan(α－β)＝＝＝.答案：4.＝________．解析：＝tan(82°－22°)＝tan 60°＝.答案：1．公式Tα±β的结构特征和符号规律(1)结构特征：公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．两角和与差的正切公式的变形与特例(1)变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；tan αtan β＝1－.(2)公式的特例：tan＝；tan＝.　　　　　　　化简求值　计算：(1)；(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°；(3)(3＋tan 30°tan 40°＋tan 40°tan 50°＋tan 50°tan 60°)·tan 10°.(链接教材P122例5)[解]　(1)因为tan 15°＝tan (45°－30°)＝＝＝2－.所以＝＝＝＝－.(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝tan (10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°＝tan 60°－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝tan 60°＝.(3)原式＝(1＋tan 30°tan 40°＋1＋tan 40°tan 50°＋1＋tan 50°tan 60°)·tan 10°，因为tan 10°＝tan(40°－30°)＝，所以1＋tan 40°tan 30°＝，同理，1＋tan 40°tan 50°＝，1＋tan 50°tan 60°＝，所以原式＝·tan 10°＝tan 40°－tan 30°＋tan 50°－tan 40°＋tan 60°－tan 50°＝－tan 30°＋tan 60°＝－＋＝.方法归纳解答此类问题应注意以下两点：(1)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan 45°＝1，tan 30°＝，tan 60°＝等．特别要注意tan＝，tan＝.(2)公式的变形运用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活变形应用公式Tα±β的意识，从而不难获得解题思路．1．(1)＝________．(2)tan 19°＋tan 26°＋tan 19°tan 26°＝________．(3)求下列各式的值：①；②tan 20°·tan 30°＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 20°.解：(1)＝＝＝＝＝－1.故填－1.(2)因为tan 45°＝tan(19°＋26°)＝＝1，所以tan 19°＋tan 26°＝1－tan 19°tan 26°，则tan 19°＋tan 26°＋tan 19°tan 26°＝1.故填1.(3)①原式＝＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝＝2－.②原式＝(tan 20°＋tan 40°)＋tan 40°·tan 20°＝·tan 60°(1－tan 20°·tan 40°)＋tan 40°·tan 20°＝1－tan 20°·tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝1.　　　　　　　给值求值(角)　(1)已知tan＝，tan＝2.求：①tan；②tan(α＋β)．(2)设方程x2＋3x＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0<|α|<，0<|β|<，求α＋β的值．(链接教材P121例4，P122练习T4)[解]　(1)①tan＝tan ＝＝＝－.②tan(α＋β)＝tan ＝＝＝2－3.(2)由已知，得tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4.所以tan(α＋β)＝＝＝，且tan α<0，tan β <0，所以－<α<0，－<β<0，所以－π<α＋β <0，所以α＋β＝－π.方法归纳解决给值求值(角)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．提醒：在给值求角的问题中，根据角的范围确定角的大小．2．已知tan α＝，tan β＝－2，且0<α<<β<π，求(1)tan(α－β)的值；(2)角α＋β的值．解：(1)因为tan α＝，tan β＝－2，所以tan(α－β)＝＝＝7.(2)tan(α＋β)＝＝＝－1，因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，所以α＋β＝.　　　　　　　公式Tα±β的综合应用　(1)已知A，B是△ABC的两个内角，且tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tan C＝________．(2)在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．[解]　(1)因为tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，所以tan A＋tan B＝－，tan Atan B＝－，所以tan(A＋B)＝＝＝－2.又A＋B＋C＝π，所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.故填2.(2)由tan B＋tan C＋tan Btan C＝，得tan B＋tan C＝(1－tan Btan C)，因为A，B，C为△ABC的内角，所以1－tan Btan C≠0，所以＝，即tan(B＋C)＝，因为00.当tan C≤－时，C为钝角，此时不能构成三角形，故tan C>0.方法归纳公式应用的常见问题类型及处理策略(1)方程中的应用：两角和与差的正切公式中由于同时出现了两正切的和差以及乘积，往往会与一元二次方程联系在一起，利用根与系数的关系解决有关问题．(2)判断三角形形状：利用公式及其变形形式，结合题中所给的条件找到角之间的关系．3．已知tan α，tan β是关于x的方程x2－4px－3＝0(p∈R)的两个实数根，且α＋β≠kπ＋(k∈Z)，求cos2(α＋β)＋psin(α＋β)cos(α＋β)的值．解：因为tan α，tan β是方程x2－4px－3＝0的两实根，所以根据根与系数关系，得tan α＋tan β＝4p，tan αtan β＝－3，所以tan(α＋β)＝＝＝p，即sin(α＋β)＝pcos(α＋β)．原式＝(1＋p2)cos2(α＋β)＝＝＝1.易错警示给值求角中的易错误区已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．[解析]　由于tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝，且α∈(0，π)，所以α∈又由tan β＝－，且β∈(0，π)，得β∈(，π)，所以2α－β∈(－π，0)．而tan(2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝＝1，所以2α－β＝－π.[答案]　－[错因与防范]　(1)解答本题常会得到2α－β的值为，这样错误的结果，原因在于没能依据题设条件进一步缩小角α、β的范围，导致计算角2α－β的范围扩大而出错．(2)为了防范类似的错误，应该①树立函数择优意识选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式Tα±β较方便快捷，且不易产生增解．②注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围．4．(1)在△ABC中，若tan A·tan B>1，则△ABC必是(　　)A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形(2)已知tan α＝，tan β。