2018年高考数学（理）二轮复习教师用书：第3部分 考前增分策略 专题1 3.三角函数与平面向量 .pdf

3.3.三角函数与平面向量三角函数与平面向量 ■要点重温…………………………………………………………………………· 1．三角函数的定义： 在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是 r＝0，那么 sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0)． x2＋y2 y r x r y x 特别地，当r＝1 时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ . y x [应用 1] 已知角α的终边经过点P(3，－4)，则 sin α＋cos α的值为________． [答案] － 1 5 2．弧长公式：l＝|α|R，扇形面积公式：S＝lR＝ |α|R2,1 弧度(1 rad)＝≈57.3°. 1 2 1 2 180° π [应用 2] 已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2 rad，求该扇形的面积． [解] 设扇形的半径为r, 弧长为l，则有Error!，解得Error! . 故扇形的面积为S＝rl＝4 cm2. 1 2 3．关于函数y＝Asin(ωx＋φ)，( A，ω0) ①五点法作图； [应用 3] 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|, x∈(0,2π)的图象与直线y＝k有且仅有两个 不同的交点，则k的取值范围是________． [答案] (1,3)．(要作出y＝f(x)的图象，运用数形结合的思想求解. ) ② 周期T＝.一般来说，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．如y＝sin2x, 2π |ω| y＝|cos x|，但y＝|tan x|的周期是 π，y＝|sin x|＋|cos x|的周期是；函数 π 2 y＝sin(x2), y＝sin|x|都不是周期函数． [应用 4] 函数y＝|sin x|cos x－1 的最小正周期与最大值分别为________. 【导学号：07804168】 [解析] y＝Error! 作出其图象(图略)知原函数的最小正周期为 2π，最大值为－ . 1 2 [答案] 2π；－ 1 2 ③ 单调性和对称性： y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z Z)；单调递减区间为 [2kπ－ π 2 ，2kπ＋π 2] (k∈Z Z)； [2kπ＋ π 2 ，2kπ＋3π 2 ] 对称轴为x＝kπ＋(k∈Z Z)；对称中心为(kπ，0)(k∈Z Z)． π 2 y＝cos x的单调递增区间为[2kπ－π， 2kπ](k∈Z Z)；单调递减区间为 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z Z)； 对称轴为x＝kπ(k∈Z Z)；对称中心为(kπ＋，0)(k∈Z Z)． π 2 y＝tan x的单调递增区间为(k∈Z Z)；对称中心为(k∈Z Z)． (kπ－ π 2 ，kπ＋π 2) ( kπ 2 ，0) [应用 5] 函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递减区间为________． ( π 4 －x) [解析] ∵x∈[－π，0]，∴x－∈，令z＝x－，则 π 4 [－ 5π 4 ，－π 4] π 4 z∈， [－ 5π 4 ，－π 4] ∵正弦函数y＝sin z在上单调递增， [－ π 2 ，－π 4] ∴由－≤x－≤－得：－≤x≤0. π 2 π 4 π 4 π 4 ∴函数f(x)＝2sin在x∈[－π，0]的单调递增区间为. (x－ π 4) [－ π 4 ，0] ∴函数f(x)＝2sin在x∈[－π，0]的单调递减区间为. ( π 4 －x) [－ π 4 ，0] [答案] [－ π 4 ，0] [应用 6] 求函数y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该 3 函数在 [0，π]上的单调递增区间． [解] ∵函数y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x ＝(sin2x－cos2x)(sin2x＋cos2x) 3 ＋sin2x 3 ＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)． 3 π 6 故该函数的最小正周期是 π. 当 2x－＝2kπ－时，即x＝kπ－时，y有最小值． π 6 π 2 π 6 由于函数y＝2sin，∴ymin＝－2， (2x－ π 6) 令 2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z Z. π 2 π 6 π 2 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z Z. π 6 π 3 令k＝0 时，－ ≤x≤. π 6 π 3 又∵0≤x≤π，∴0≤x≤， k＝1 时， π≤x≤ π π 3 5 6 4 3 又∵0≤x≤π.∴ π≤x≤π. 5 6 故该函数的最小正周期是 π；最小值是－2；单调递增区间是，. [0， π 3] [ 5π 6 ，π] ④ 变换： y＝sin xy＝siny＝sin ――→ ？ (x＋ π 3)――→ ？ (2x＋ π 3) y＝sin xy＝sin(2x)y＝sin ――→ ？ ――→ ？ (2x＋ π 3) 你知道上述两种变换过程的区别吗？ [应用 7] 要得到函数y＝cos x的图象，只需将函数y＝sin的图象上所有 22 (2x＋ π 4) 的点( ) A．横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 1 2 π 8 B．横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 1 2 π 4 C．横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 π 4 D．横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 π 8 [解析] 将函数y＝sin(2x＋)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 2 π 4 变)，得函数y＝sin(x＋)的图象；再向左平行移动个单位长度后便得 2 π 4 π 4 y＝sin(x＋＋)＝cos x的图象．故选 C. 2 π 4 π 42 [答案] C [应用 8] 将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数 π 8 的图象，则φ的一个可能取值为________. 【导学号：07804169】 A． B． π 4 3π 4 C．0D．－ π 4 [解析] y＝sin(2x＋φ)y＝sin＝sin， ――→ 左移π 8 [2(x＋ π 8)＋φ] (2x＋ π 4 ＋φ) 由于所得函数为偶函数，则 f(0)＝sin＝±1， (φ＋ π 4) φ＋＝kπ＋⇒φ＝kπ＋，k∈Z Z，取k＝0 得φ＝，故选 A. π 4 π 2 π 4 π 4 [答案] A ⑤用待定系数法求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式． 由图中的最大值或最小值确定A，再由周期确定ω，由图象上“特殊点”的坐标来确定 φ. 特别提醒：将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个 点． “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z Z)，其他依次类 推即可． [应用 9] 已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图 4 所示，则 φ＝________. 图 4 [解析] 由图象可得T＝2＝ π＝，解之得ω＝ .将代入 (2π－ 3 4π) 5 2 2π ω 4 5 ( 3 4π，－1) y＝sin，得 sin＝－1，则 π＋φ＝＋2kπ，k∈Z Z，即 ( 4 5x＋φ) ( 3 5π＋φ) 3 5 3π 2 φ＝＋2kπ，k∈Z Z. 9π 10 又∵φ∈[－π，π)，∴φ＝π. 9 10 [答案] π. 9 10 4．三角恒等变换的切入点 (1)角的变换：可利用和、差、倍、半角公式； (2)名的互换：诱导公式、正切化正余弦公式； (3)次的变换：利用升、降幂公式； (4)形的变换：统一函数形式． 值得注意的是： ①在三角恒等变换中，要特别注意角的各种变换．如：β＝(α＋β)－α，α＝(α－β) ＋β， ＝－； α＋β 2 (α－ β 2) ( α 2 －β) [应用 10] 已知 sin(－α)＝ ，则 sin(π＋2α)＝________. π 7 1 3 17 14 [解] － .(提示：设－α＝β) 7 9 π 7 ②注意 sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三者间的关系． [应用 11] 已知θ∈，sin θ－cos θ＝，求的值． (0， π 2) 5 5 cos2θ－sin2θ－1 1－tan θ [解] ＝＝＝ cos2θ－sin2θ－1 1－tan θ 2sin2θ＋sin2θ tan θ－1 2sin2θcos θ＋sin2θcos θ sin θ－cos θ ， 2sin θcos θsin θ＋cos θ sin θ－cos θ 因为θ∈，sin θ－cos θ＝，所以 sin θcos θ＝ ，sin θ＋cos (0， π 2) 5 5 2 5 θ＝，所以原式＝. 3 5 12 5 ③在三角函数的求值问题中，要特别关注角的范围，通常需要结合已知的三角函数值进 一步缩小角的范围，以确定所求值的符号，这是此类问题中的难点． [应用 12] 设α为第四象限的角，若＝，则 tan2α＝________. sin3α sin α 13 5 【导学号：07804170】 [解析] ∵＝＝＝cos2α＋2cos2α＝2cos2α sin3α sin α sinα＋2α sin α sin αcos2α＋cos αsin2α sin α ＋1＝∴cos2α＝ .又∵α为第四象限角，即 2kπ＋＜α＜2kπ＋2π，k∈Z Z， 13 5 4 5 3π 2 ∴4kπ＋3π＜2α＜4kπ＋4π，k∈Z Z，即 2α为第三、四象限角． ∴sin2α＝－＝－＝－ . 1－cos22α 1－(4 5)2 3 5 ∴tan2α＝＝＝－ . sin2α cos2α －3 5 4 5 3 4 [答案] － 3 4 ④注意二倍角公式的变形，如： sin2α＝，cos2α＝. 1－cos2α 2 1＋cos2α 2 辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中 tanφ＝ . a2＋b2 b a [应用 13] 已知函数f(x)＝sin cos ＋cos2 . x 3 x 33 x 3 (1) 将f(x)写成Asin(ωx＋φ)＋k的形式．并求其图象对称中心的横坐标； (2) 如果△ABC的三边，a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，试求x的取值范围 及此时函数f(x)的值域． [解] (1)f(x)＝sin＋， ( 2 3x＋ π 3) 3 2 由 sin＝0，即x ＋＝kπ(k∈Z Z)． ( 2 3x＋ π 3) 2 3 π 3 得x＝π，k∈Z Z. 3k－1 2 即对称中心的横坐标为π，k∈Z Z. 3k－1 2 (2)由已知b2＝ac，cos x＝＝ a2＋c2－b2 2ac a2＋c2－ac 2ac ＝－ ≥ ， a2＋c2 2ac 1 2 1 2 又x＝B∈(0，π)， ∴0＜x≤， π 3 ∴x＋∈(，]． 2 3 π 3 π 3 5π 9 ∴sin＜sin≤1. π 3 ( 2 3x＋ π 3) ∴bcsin B知，C 有两解．也可依已 c·sin B b 5 6 知条件，画出△ABC(图略)，由图知有两解．故选 C. [答案] C 6．向量共线基本定理：a a∥b b⇔存在实数λ，使得b b＝λa a(a a≠0)⇔x1y2－x2y1＝0 [应用 16] 若a a＝(2，－2)，则与a a平行的单位向量的坐标为________． [答案] ， ( 2 2 ，－ 2 2) (－ 2 2 ， 2 2) 7．平面向量基本定理：如果e e1，e e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任 意向量a a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a a＝λ1e e1＋λ2e e2. 特别地，＝λ1＋λ2，则λ1＋λ2＝1 是三点P，A，B共线的充要条件． OP → OA → OB → [应用 17] 如图 6，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若 ＝λ＋μ，则λ＋μ＝________. AM → AB → A。