注重数学的整体性,提升系统思维水平.ppt

注重数学的整体性，提升系注重数学的整体性，提升系统思思维水平水平通山通山县黄沙中学黄沙中学司林司林一、关于数学的整体性一、关于数学的整体性•整体是事物的一种真整体是事物的一种真实存在形式存在形式•数学是一个整体数学是一个整体•数学的整体性体数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互的相互联系上，同系上，同时也体也体现在同一部分内容中知在同一部分内容中知识的前后的前后逻辑关系上关系上————纵向向联系、横向系、横向联系•学生的学学生的学习是循序是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教如何要逐步教如何处理好理好这种矛盾，是教学中的种矛盾，是教学中的核心核心问题1. 从数及其运算看数学的整体性从数及其运算看数学的整体性•在数系的在数系的发展展过程中，正整数与人的直程中，正整数与人的直觉一致，天一致，天经地地义然而，0、、负整数、分数、无理数、复数取得整数、分数、无理数、复数取得“合法合法”地位，都地位，都经历了漫了漫长、曲折而相似的、曲折而相似的过程让学生返璞学生返璞归真地真地择要要经历这个个过程，程，对他他们理解数学理解数学的整体性、感受数学研究的的整体性、感受数学研究的“味道味道”很有好很有好处，自然地，，自然地，这也是培养学生的数学素养，提高他也是培养学生的数学素养，提高他们发现和提和提出出问题、分析和解决、分析和解决问题的能力的极好的能力的极好途径途径。

数系数系扩充中的基本思想充中的基本思想•数学推广数学推广过程的一个重要特性是：使得在原来范程的一个重要特性是：使得在原来范围内成立的内成立的规律在更大的范律在更大的范围内仍然成立内仍然成立•数系的数系的扩充：引入一种新的数，就要定充：引入一种新的数，就要定义其运算；定其运算；定义一种运算，就要研究其运算律一种运算，就要研究其运算律•扩充的基本原充的基本原则是：使算是：使算术运算的运算律保持不运算的运算律保持不变•运算是代数中的核心运算是代数中的核心问题““有理数有理数””的整体的整体结构构•背景（背景（现实、数学内部）、数学内部）——定定义——表示表示——分分类——性性质——运算运算——联系和系和应用•研究一个数学新研究一个数学新对象的基本套路象的基本套路•如何理解有理数乘法法如何理解有理数乘法法则的教材的教材设计中渗透的数系中渗透的数系扩充的基本思想？充的基本思想？2.2.从字母表示数从字母表示数发展出的代数学展出的代数学•代数学的根源在于代数运算，代数学要研代数学的根源在于代数运算，代数学要研讨的就是如何有效、有系的就是如何有效、有系统地解决各种各地解决各种各样的代数的代数问题。

•用字母表示数，就要研究各种代数式的运算用字母表示数，就要研究各种代数式的运算问题————如何如何进行代数式的加、减、乘、除、乘方、开方，运行代数式的加、减、乘、除、乘方、开方，运算的依据是什么，就要研究代数式的相等和不等，就要研究运算性算的依据是什么，就要研究代数式的相等和不等，就要研究运算性质等•问题：什么叫等式、不等式的性：什么叫等式、不等式的性质？？3. 课例例“同底数同底数幂的乘法的乘法”•立意：构建一个前后一致、立意：构建一个前后一致、逻辑连贯的代数学的代数学习过程，使学生在掌握知程，使学生在掌握知识的的过程中学会思考，把学生培养程中学会思考，把学生培养成成为善于善于认识问题、善于解决、善于解决问题的人才•关注的重点：数学的整体性，代数基本思想，运算技能，关注的重点：数学的整体性，代数基本思想，运算技能，发现和提出和提出问题的能力（（1））为什么要学什么要学习本章内容？本章内容？•运算运算——代数学的根源在于代数运算，代数学的根源在于代数运算， 代数学代数学这门学学问所要研所要研讨的就是如何有效、有系的就是如何有效、有系统地解决各种各地解决各种各样的代数的代数问题•整式本身就是运算的整式本身就是运算的结果；果；•整式中的数和字母都整式中的数和字母都满足运算律；足运算律；•整式的运算就是整式的运算就是对数、字母符号运用运算律所数、字母符号运用运算律所进行的形式运算；行的形式运算；•前面已前面已经学学习整式的加减（利用分配律去括号，再合并同整式的加减（利用分配律去括号，再合并同类项）。

•接下来自然要学接下来自然要学习整式的乘法、除法等整式的乘法、除法等•两个多两个多项式相乘式相乘——（用分配律）（用分配律）转化化为单项式的乘式的乘积之和式之和式——用乘法的交用乘法的交换律、律、结合律和合律和幂的运算性的运算性质（指数法（指数法则）得到）得到单项式的乘式的乘积所以，多所以，多项式乘法的基式乘法的基础是是单项式的乘法，而式的乘法，而单项式的乘法又以式的乘法又以幂的的运算性运算性质为基基础•通通过归纳可以可以发现，，幂的运算最基本的形式是三的运算最基本的形式是三类：：am·an，，(am)n，，(ab)n“整式的乘法整式的乘法”的的逻辑线索索•同底数同底数幂的乘法的乘法——幂的乘方的乘方——积的乘方的乘方——单项式的乘法式的乘法——单项式乘多式乘多项式式——多多项式乘多式乘多项式式——乘法公式（特殊的多乘法公式（特殊的多项式乘法）式乘法）（（2）如何开篇？）如何开篇？•重点：构建重点：构建“先行先行组织者者”，使学生明确本章的学，使学生明确本章的学习主主线•思路一思路一 从整体出从整体出发，逐，逐渐分化分化——从整式运算的整体出从整式运算的整体出发，引，引导学生从宏学生从宏观到微到微观，逐步，逐步寻找整式的乘法找整式的乘法所需要的所需要的逻辑基基础，将研究的，将研究的问题具体化，具体化，进而构建整体研究思路，然后再按照知而构建整体研究思路，然后再按照知识的的逻辑顺序逐步展开序逐步展开学学习。

•思路二思路二 从一个从一个“实际问题”出出发，直接提出同底数，直接提出同底数幂的乘法的学的乘法的学习任任务，再采用从具体到抽象的方法，从，再采用从具体到抽象的方法，从具体数字的运算中具体数字的运算中归纳出同底数出同底数幂的乘法、的乘法、幂的乘方、的乘方、积的乘方等运算法的乘方等运算法则•显然，前一种立意高，思想性然，前一种立意高，思想性强，，“数学味数学味”更更浓，，课题的引入更加自然而水到渠成，能使学生切的引入更加自然而水到渠成，能使学生切实地感地感受到学受到学习同底数同底数幂的乘法的必要性，同的乘法的必要性，同时还能更好地落能更好地落实“发现和提出和提出问题的能力、分析和解决的能力、分析和解决问题的能的能力的培养力的培养”这样的安排，更加符合数学法的安排，更加符合数学法则产生的原来面目，完美地体生的原来面目，完美地体现了数学的整体了数学的整体观，，课堂更加大堂更加大气，能气，能给学生更多智慧的启迪，思学生更多智慧的启迪，思维的教学更加到位的教学更加到位•学生已学生已经学学过整式的概念、加减运算，从整式的概念、加减运算，从“数式通性数式通性”的角度的角度说，学，学习同底数同底数幂的乘法的基的乘法的基础（即数的乘（即数的乘方）很牢固，因此，用前一种方式引入，不方）很牢固，因此，用前一种方式引入，不仅更能体更能体现数学的整体性，更有利于数学的整体性，更有利于创新精神和新精神和实践能力的培践能力的培养，数学的思养，数学的思维训练价价值更能得到充分更能得到充分发挥，而且也与学生的，而且也与学生的认知准知准备相适相适应，更能体，更能体现学学习的自主性，的自主性，也更能激也更能激发学生的学学生的学习主主动性。

性（（3）落）落实“有效、有系有效、有系统地算地算”•一是同底数一是同底数幂的乘法法的乘法法则，解决算理的，解决算理的问题，，实现“有系有系统地算地算”；二是如何用法；二是如何用法则进行有效行有效计算，算，实际上是上是进行运算技能的行运算技能的训练，提高运算能力，，提高运算能力，实现“有效地算有效地算”•训练运算技能是代数教学的基本任运算技能是代数教学的基本任务，本，本节课的的“训练点点”在两个方面一是在两个方面一是“用同底数用同底数幂的乘法法的乘法法则进行行计算算”，关，关键是解决是解决“把不同底把不同底转化化为同底同底”，，这是知是知识与方法的角度；二是运算与方法的角度；二是运算习惯的培养，与的培养，与“数数感感”、、“符号意符号意识”等相关，具体可以从等相关，具体可以从“先先观察，后察，后计算算”、、“先定符号，再算先定符号，再算绝对值”等方面着手等方面着手（（4）） 关注代数的基本思想关注代数的基本思想•从运算的角度提出从运算的角度提出问题——代数学的根源在于运算；代数学的根源在于运算；•运算律（特运算律（特别是分配律）是解决各种各是分配律）是解决各种各样代数代数问题的核心；的核心；•归纳地去探究、地去探究、发现，，归纳地定地定义，然后再，然后再归纳地地论证。

小小结•本本课内容内容简单，没有，没有难点但从注重数学的整体性，点但从注重数学的整体性，强调代数基本思想，加代数基本思想，加强运算技能以及运算技能以及发现和提出和提出问题的能力等角度看，又有的能力等角度看，又有许多多值得注意的得注意的问题，需要在，需要在课题的引入、同底数的引入、同底数幂的乘法法的乘法法则的得出、法的得出、法则的的应用等用等环节加加强思考，努力思考，努力为学生构建一个前后一致学生构建一个前后一致逻辑连贯的代数学的代数学习过程，使他程，使他们在掌握知在掌握知识的的过程程中学会思考，把他中学会思考，把他们培养成培养成为善于善于认识问题、善于解决、善于解决问题的人才这是是“数学育人数学育人”的康庄大道的康庄大道教学教学过程程设计（一）（一） 创设情景，引入新情景，引入新课1．前面我．前面我们学学习了数的运算，学了数的运算，学习了哪些内容？是怎了哪些内容？是怎样学学习的（学的（学习路径）？整式运算，我路径）？整式运算，我们已学已学习了什么运了什么运算？你能否算？你能否类比数的运算，猜想我比数的运算，猜想我们将要学将要学习的整式哪种运算？的整式哪种运算？2. 探究活探究活动：下面有四个整式，从中任：下面有四个整式，从中任选两个构造乘法运算：两个构造乘法运算： a2 ，，a3 ，，a3 +ab，，a +ab（（1）你能写出哪些算式？（只需列式，不要求）你能写出哪些算式？（只需列式，不要求计算）；算）； （（2））试着将你写出的算式分着将你写出的算式分类，你，你认为整式乘法有哪几种整式乘法有哪几种类型型?3. 小小组讨论单项式乘多式乘多项式和多式和多项式乘多式乘多项式的步式的步骤．．（二）（二） 交流交流对话，探究新知，探究新知1. 运用乘方的意运用乘方的意义计算算（（1））103×104 = ( ) ( )= =10( )（（2）） a3×a4 = ( ) ( )= =a( )（（3））10 m×10n= ( ) ( )= =10( )2. 通通过对以上以上过程的程的观察，你能察，你能发现什么什么规律律吗？你能用一个式子来表达？你能用一个式子来表达这个个规律律吗？你能解？你能解释为什么什么am·an=am+n 吗？？ 3. 回回顾法法则的探究的探究过程，我程，我们经历了怎了怎样的的过程？程？4. 诵读法法则并思考：运用法并思考：运用法则的条件是什么？的条件是什么？（三）（三）应用新知，体用新知，体验成功成功1．．【【辨一辨辨一辨】】•下列各式哪些是同底数下列各式哪些是同底数幂的乘法？的乘法？ 2．．【【做一做做一做】】 •计算下列各式，算下列各式，结果用果用幂的形式表示的形式表示. 3．．【【判一判判一判】】•下面的下面的计算算对吗？如果不？如果不对，怎，怎样改正？改正？4．．【【做一做做一做】】•计算下列各式，算下列各式，结果用果用幂的形式表示的形式表示. （四）梳理小（四）梳理小结，，盘点收点收获•今天我今天我们发现、、归纳并运用了一个新的法并运用了一个新的法则．．•法法则的内容是什么？的内容是什么？•我我们是怎么是怎么发现和和归纳这个法个法则的？的？•在运用法在运用法则过程中要注意什么？程中要注意什么？（五）延伸思考，提升（五）延伸思考，提升层次次•幂的乘方、的乘方、积的乘方也是的乘方也是计算算单项式乘式乘单项式的基式的基础，它，它们的法的法则又是如何呢？又是如何呢？请同学同学们类比同底数比同底数幂乘乘法的研究路径和方法自主探究．法的研究路径和方法自主探究． 例例 乘法公式的理解及教学乘法公式的理解及教学设计•多多项式运算就是含有字母符号的算式之式运算就是含有字母符号的算式之间的运算（字母代表数，数的运算（字母代表数，数满足运算律，所以字母也足运算律，所以字母也满足运算律）；足运算律）；•两个多两个多项式的乘式的乘积就是用分配律把它就是用分配律把它归于于单项式的乘式的乘积之和来之和来计算，算，单项式的乘式的乘积是用乘法的交是用乘法的交换律、律、结合律和指数法合律和指数法则来来计算算——运算法运算法则；；•乘法公式是一乘法公式是一类特殊的多特殊的多项式乘法式乘法问题，是一个模式。

是一个模式乘法公式乘法公式蕴含的思想方法含的思想方法•乘法公式是研究一般多乘法公式是研究一般多项式乘法基式乘法基础上上对“特例特例”的考察，的考察，寻找一个模式：找一个模式：•在在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母中，字母a，，b，，c，，d有某些特殊关系有某些特殊关系时的特殊形式，即的特殊形式，即（（1））c=a，，d=－－b时为平方差公式；平方差公式；（（2））c=a，，d=b时为完全平方和公式；等完全平方和公式；等从一般到特殊，从一般到特殊，归纳的思想，的思想，“考察特例考察特例”是数学研究的是数学研究的“基本套路基本套路”教学教学过程程设计•1．复．复习与引入与引入•问题1 前面我前面我们学学习了了单项式、多式、多项式的乘法，你能式的乘法，你能说说运算法运算法则吗？？这些运算的依据是什么？些运算的依据是什么？•设计意意图：回：回顾运算法运算法则，，强化化“用运算律用运算律计算算”的意的意识•先行先行组织者：者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，中，a，，b，，c，，d可以是数、式或可以是数、式或别的什么数学中，的什么数学中，经常要通常要通过考考察特殊情况来察特殊情况来获得得对问题的的进一步一步认识，例如在两条直，例如在两条直线的位置关系中，我的位置关系中，我们特特别研究了平行、垂直两种研究了平行、垂直两种特殊的位置关系，得到了一些有用的特殊的位置关系，得到了一些有用的结论。

类似的，在多似的，在多项式乘法中，也有一些特殊情形式乘法中，也有一些特殊情形值得研究•2．公式的探究．公式的探究•问题2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接写出可以利用公式直接写出结果它是(a+b)(c+d)在在a=c=x时的特例在的特例在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？有哪些特殊情形？你能得到什么？•设计意意图：通：通过“先行先行组织者者”，渗透从一般到特殊，考察特例，深入，渗透从一般到特殊，考察特例，深入认识数学数学对象的方法；在象的方法；在让学生自学生自主活主活动之前，先指出已有特例之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个，使学生有一个类比比对象，明确思考方向象，明确思考方向•问题3 请你用自己的你用自己的语言表述平方差公式、完全平方公式言表述平方差公式、完全平方公式•设计意意图：帮助学生理解公式帮助学生理解公式•3．例．例题•本本环节主要目的是通主要目的是通过变式（字母式（字母a，，b取数、式等各种取数、式等各种变形），形），让学生体会公式在学生体会公式在“形式化运算形式化运算”中的作中的作用另外，通用。

另外，通过适当反例，适当反例，纠正学生可能的疏忽最正学生可能的疏忽最终要要让学生明确：第一，具学生明确：第一，具备形式形式(a+b)(a－－b)或或(a±b)2，就可以用公式；第二，要注意哪个代表，就可以用公式；第二，要注意哪个代表a，哪个代表，哪个代表b•4．公式的多元．公式的多元联系表示系表示•问题4 如果如果a，，b表示表示线段的段的长，，则a2，，b2分分别表示正方形的面表示正方形的面积你能根据公式的形式，自己构造一个你能根据公式的形式，自己构造一个图形形表示上述乘法公式表示上述乘法公式吗？？•设计意意图：通：通过构造几何模型表示公式，以开拓学生的思路通构造几何模型表示公式，以开拓学生的思路通过数形数形结合、合、图形直形直观，以加深理解、增，以加深理解、增强记忆•5．小．小结•（（1））请你你总结一下本一下本节课讨论问题的基本的基本过程•设计意意图：引：引导学生学生总结“基本套路基本套路”，即，即“多多项式乘法（一般）式乘法（一般）——乘法公式（特殊）乘法公式（特殊）——公式特征分公式特征分析析——与相关知与相关知识的的联系系”•（（2）你能）你能说说公式的公式的结构特点构特点吗？？应用用时应注意哪些注意哪些问题？？•设计意意图：注重知：注重知识的使用条件。

的使用条件•（（3）能否循着上述思路，再提出一些）能否循着上述思路，再提出一些值得研究的得研究的问题？？•设计意意图：引：引导学生自主研究必要学生自主研究必要时可作提示，如公式可作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推广中，推广“次数次数”，可以研究，可以研究(a+b)3，，(a+b)4……；或推广字母个数；或推广字母个数(a+b+c)2虽不是不是“课标”的要求，但的要求，但对学生思学生思维发展是有好展是有好处的二、关于系二、关于系统思思维的培养的培养•数学是一个系数学是一个系统，理解和掌握数学知，理解和掌握数学知识需要系需要系统思思维系统思思维就是把就是把认识对象作象作为系系统，从系，从系统和要素、和要素、要素和要素、系要素和要素、系统和和环境的相互境的相互联系及相互作用中系及相互作用中综合地考察合地考察认识对象的一种思象的一种思维方法系统思思维能极大能极大地地简化人化人们对事物的事物的认知系统思思维给我我们带来整体来整体观、全局、全局观，具，具备系系统思思维是是逻辑抽象能力抽象能力强的集中的集中表表现例例 “三角形三角形”研究中的系研究中的系统思思维•定定义“三角形三角形”，明确它的构成要素；，明确它的构成要素；•用符号表示三角形及其构成要素，并以要素用符号表示三角形及其构成要素，并以要素为标准准对三角形三角形进行分行分类；；•基本性基本性质，即研究要素之，即研究要素之间的关系，得到的关系，得到 “三角形内角和等于三角形内角和等于180°” 等；等；•研究研究“相关要素及其关系相关要素及其关系”，如，如“三角形的外角等于不相三角形的外角等于不相邻两内角之和两内角之和”等；等；•三角形的全等（反映空三角形的全等（反映空间的的对称性，称性，“相等相等”是重要的数学关系，也可以看成是重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件确定一个三角形的条件”）；）；•特殊三角形的性特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）；与判定（等腰三角形、直角三角形）；•三角形的三角形的变换（如相似三角形等）；（如相似三角形等）；•直角三角形的直角三角形的边角关系（角关系（锐角三角函数），解直角三角形。

角三角函数），解直角三角形•把三角形作把三角形作为一个系一个系统进行研究：行研究：•定定义——表示表示——分分类（以要素（以要素为标准）准）——性性质（要素、相关要素的相互关系）（要素、相关要素的相互关系）——特例（性特例（性质和判定）和判定）——联系（系（应用）；用）；•定性研究（相等、不等、定性研究（相等、不等、对称性等）称性等）——定量研究（面定量研究（面积、勾股定理、相似、解三角形等）勾股定理、相似、解三角形等）•培养系培养系统思思维，是，是为了使学生养成全面思考了使学生养成全面思考问题的的习惯，避免，避免“见木不木不见林林”，，进而使他而使他们在面在面对数学数学问题时，能把解决，能把解决问题的目的目标、、实现目目标的的过程、解决程、解决过程的程的优化以及化以及对问题的拓展、深化等作的拓展、深化等作为一个整体一个整体进行研究这样，，“使学生学会思考，成使学生学会思考，成为善于善于认识和解决和解决问题的人才的人才”就能落在就能落在实处什么叫性什么叫性质？？•性性质是指事物所具有的本是指事物所具有的本质，即事物内部，即事物内部稳定的定的联系•问题：：这里的里的“事物内部事物内部”指什么？指什么？“稳定的定的联系系”是怎么表是怎么表现的？到底怎的？到底怎样才能才能发现这种种“联系系”？？•从三角形的从三角形的“内角和内角和为180°”、、“两两边之和大于第三之和大于第三边”、、“大大边对大角大角”、、“等等边对等角等角”等你想到了什等你想到了什么？么？•“内部内部”可以是可以是“三角形的三角形的组成要素成要素”，，“稳定的定的联系系”是指是指“三角形要素之三角形要素之间确定的关系确定的关系”。

•几何几何对象象组成要素之成要素之间确定的关系就是性确定的关系就是性质•从从“外角等于不相外角等于不相邻两内角的和两内角的和”、、“三条高交于一点三条高交于一点”、、“等腰三角形三等腰三角形三线合一合一”等又想到了什么？等又想到了什么？•把外角、高、中把外角、高、中线、角平分、角平分线等叫做三角形的相关要素，等叫做三角形的相关要素，这些些“相关要素相关要素”也可以看成是也可以看成是“三角形的内部三角形的内部”•要素、相关要素之要素、相关要素之间确定的关系也是性确定的关系也是性质•两个几何事物所形成的某种位置关系所体两个几何事物所形成的某种位置关系所体现的性的性质，例如两条直，例如两条直线平行，从平行，从“同位角相等同位角相等”、、“内内错角相角相等等”以及以及“同旁内角互同旁内角互补”可以想到，可以想到，这时的的“性性质”是借助是借助“第三条直第三条直线”构成一些角，然后看由两条构成一些角，然后看由两条直直线平行平行这一位置关系所决定的一位置关系所决定的这些角之些角之间有什么确定的关系有什么确定的关系•研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之何事物之间是否形成确定的关系入手。

是否形成确定的关系入手平行四平行四边形的性形的性质•要素：四条要素：四条边，四个角；，四个角；•相关要素：相关要素：对角角线•要素之要素之间的关系：两的关系：两组对边（角）分（角）分别平行且相等；平行且相等；•相关要素的关系：相关要素的关系：对角角线相互平分；相互平分；•……圆的几何性的几何性质•要素：要素：圆心、半径、直径、弧、心、半径、直径、弧、圆心角；心角；•相关要素：弦、相关要素：弦、圆周角周角……•你你认为可以怎可以怎样引引导学生学生发现和提出和提出值得研究的命得研究的命题？？•同（等）同（等）圆的直径大于不的直径大于不经过圆心的任何一条弦；心的任何一条弦；•垂直于弦的直径平分弦，并且平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所条弦所对的两条弧；的两条弧；•在同（等）在同（等）圆中：弧相等中：弧相等则所所对的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧所大弧所对的弦的弦较大（弦心大（弦心距距较小）；逆定理也成立小）；逆定理也成立•切切线垂直于垂直于过切点的半径切点的半径•过圆外一点所作外一点所作圆的两条切的两条切线长相等•你能你能发现一些与一些与圆心角相关的定理心角相关的定理吗？？培养学生的系培养学生的系统思思维•把把认识对象作象作为系系统，从系，从系统和要素、要素和要素、系和要素、要素和要素、系统和和环境的相互境的相互联系及相互作用中系及相互作用中综合地考察合地考察认识对象的一种思象的一种思维方法方法……系系统思思维能极大地能极大地简化人化人们对事物的事物的认知。

系知系统思思维给我我们带来整体来整体观、全局、全局观，，具具备系系统思思维是是逻辑抽象能力抽象能力强的集中表的集中表现•每一个数学概念都可看成一个小系每一个数学概念都可看成一个小系统从培养系从培养系统思思维的要求出的要求出发设计教学教学•以数学知以数学知识的的发生生发展展过程程为载体，按学生的体，按学生的认知知规律律设计教学，使学生教学，使学生经历研究一个数学研究一个数学对象的基本象的基本过程，提高程，提高发现和提出和提出问题、分析和解决、分析和解决问题的能力，培养的能力，培养认识和解决和解决问题的能力——数学化的数学化的过程程例例 投影与投影与视图对内容的内容的认识•中心投影、平行投影的事例随中心投影、平行投影的事例随处可可见，与投影相关的概念都与，与投影相关的概念都与现实生活生活紧密相关•平行投影是三平行投影是三视图的学的学习基基础•投影与投影与视图涉及立体涉及立体图形与平面形与平面图形形间的的转化，要利用直化，要利用直观感知、感知、动手操作等学手操作等学习方式，是培养空方式，是培养空间观念念的好的好载体•本章本章顺序：投影序：投影——三三视图——课题学学习（制作立体模型）制作立体模型）。

投影投影•按照从一般到特殊的按照从一般到特殊的线索展开，重点索展开，重点讨论正投影正投影问题•从从实例引出投影的概念及其分例引出投影的概念及其分类（平行投影、中心投影）；（平行投影、中心投影）；•通通过“思考思考”，引，引导学生比学生比较和和认识中心投影与平行投影的投影中心投影与平行投影的投影线的区的区别，以及平行投影中，以及平行投影中“斜投影斜投影”与与“正投影正投影”的区的区别，，进而而给出正投影的概念；出正投影的概念；•再通再通过“探究探究”，借助生活，借助生活经验，，讨论正投影中基本而重要的正投影中基本而重要的线段、正方形的投影段、正方形的投影问题：：•线段与投影面的位置关系（有且只有平行、段与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下斜和垂直三种），不同位置关系下线段的正投影的形状、段的正投影的形状、线段与其正投影的大小关系：段与其正投影的大小关系：•正方形与投影面的位置关系（有且只有平行、正方形与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下正方形的正投影的形状、斜和垂直三种），不同位置关系下正方形的正投影的形状、正方形与其正投影的大小关系；正方形与其正投影的大小关系；•在此基在此基础上，上，归纳出正投影的一般出正投影的一般规律。

律•编写思路：从生活写思路：从生活实例中抽象出投影的概念例中抽象出投影的概念——投影的分投影的分类（以投影（以投影线的位置关系的位置关系为分分类标准）准）——特殊特殊的投影（正投影）的概念和性的投影（正投影）的概念和性质•在正投影性在正投影性质的的讨论中，一是关注了中，一是关注了简单但基本而重要的但基本而重要的问题，即，即线段、正方形的正投影（其段、正方形的正投影（其实就是就是线、、面的正投影面的正投影问题的代表）；二是根据的代表）；二是根据线、面与投影面的不同位置、面与投影面的不同位置讨论它它们之之间的形状、大小关系（要素之的形状、大小关系（要素之间的相互关系就是性的相互关系就是性质）三三视图•包括三包括三视图的概念、画立体的概念、画立体图形（形（实物）的三物）的三视图、由三、由三视图想象立体想象立体图形（形（实物）以及利用三物）以及利用三视图知知识解决度量解决度量问题立体图形限制在直棱柱、形限制在直棱柱、圆柱、柱、圆锥、球或它、球或它们的的组合•本本节是是“投影投影”知知识的的应用，先借助生活用，先借助生活实例介例介绍视图的概念，的概念，这里里“从某一方向看从某一方向看”相当于相当于“某一方向某一方向的平行投影的平行投影线”，因此看到的平面，因此看到的平面图形是物体在形是物体在这个方向光个方向光线下的正投影。

再介下的正投影再介绍三三视图，直接指出三，直接指出三视图的投影面是三个互相垂直的平面，介的投影面是三个互相垂直的平面，介绍三三视图的成像原理、三的成像原理、三视图的位置和度量的位置和度量规定，然后是定，然后是5个例个例题，，画三画三视图、判断、判断简单物体的物体的视图、根据、根据视图描述描述简单几何体等几何体等加加强认识和解决和解决问题方法的教学方法的教学•如何如何获得研究得研究对象；象；•构建研究数学构建研究数学对象的基本象的基本线索；索；•发现和提出和提出值得研究的具体得研究的具体问题；；•掌握研究掌握研究问题的基本方法的基本方法相似相似对内容的内容的认识•初中几何，包括初中几何，包括图形的形的认识、、测量、运量、运动或或变化、性化、性质和和证明以及位置等明以及位置等•相似是相似是“图形的形的变化化”的主要内容，研究的主的主要内容，研究的主题是是图形形状之形形状之间的关系，的关系，图形的位似形的位似还涉及涉及图形的位置关形的位置关系，因此也是系，因此也是“图形的形的认识”的深化；投影与的深化；投影与视图则是在三是在三维图形与二形与二维图形的形的转化中，体化中，体现出出“图形的形的变化化”。

两种两种“图形的形的变换”•轴对称、旋称、旋转或平移或平移变换：改：改变了了图形的位置但不改形的位置但不改变图形的形状和大小；形的形状和大小；•相似相似变换：改：改变了了图形的位置和大小，形的位置和大小，图形的形状形的形状则保持不保持不变•三角形的相似是三角形的相似是“相似相似”的核心内容的核心内容•“相似相似”与与“全等全等”——一般与特殊一般与特殊•类比全等三角形，安排相似的内容，引比全等三角形，安排相似的内容，引导学生探索相似三角形的判定和性学生探索相似三角形的判定和性质及在及在实际测量中的量中的应用•位似位似图形是一种具有特殊位置关系的相似形是一种具有特殊位置关系的相似图形，可用来放大或形，可用来放大或缩小小图形；在直角坐形；在直角坐标系中研究位似，用坐系中研究位似，用坐标之之间的关系表示位似，渗透用代数方法研究几何的关系表示位似，渗透用代数方法研究几何变换的思想“相似相似”的内容的内容结构构 图形的相似形的相似•通通过生活生活实例，在学生感受相似例，在学生感受相似图形的基形的基础上，上，给出相似出相似图形的概念，再特殊化形的概念，再特殊化给出相似多出相似多边形概念，并形概念，并从定从定义出出发给出判定两个多出判定两个多边形相似的方法，以及相似多形相似的方法，以及相似多边形形对应角相等、角相等、对应边成比例的性成比例的性质。

相似三角形相似三角形•按照按照“定定义——判定判定——性性质——应用用”的的顺序展开•定定义：相似：相似图形的特殊化，既是判定也是性形的特殊化，既是判定也是性质•判定：判定：类比全等三角形的判定，提出比全等三角形的判定，提出寻找判定三角形相似的任找判定三角形相似的任务“判定定理判定定理”的构建的构建过程程•从定从定义出出发，关，关键是是“对应边成比例成比例”；；•通通过旋旋转、平移等、平移等变换，移到，移到“一个角重合、一条一个角重合、一条边平行平行”的位置，于是的位置，于是“平行截割平行截割”成成为出出发点点——基基本事本事实；；•特殊化：平行于三角形一特殊化：平行于三角形一边的直的直线截其他两截其他两边（或两（或两边的延的延长线），所得的），所得的对应线段成比例；段成比例；•预备定理：平行于三角形一定理：平行于三角形一边的直的直线和其他两和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相交，所构成的三角形与原三角形相似；•三个判定定理；三个判定定理；•特殊化：相似直角三角形的判定定理特殊化：相似直角三角形的判定定理•降低了降低了难度但保持了相似三角形的主干内容，体度但保持了相似三角形的主干内容，体现了公理化思想。

了公理化思想“性性质定理定理”的构建的构建过程程通过“思考”栏目引出问题，明确探究方向：通过“探究”栏目引导学生探究并证明相似三角形性质：锐角三角函数角三角函数对内容的内容的认识•三角形是最三角形是最简单而基本的封而基本的封闭图形，而空形，而空间的大部分基本性的大部分基本性质都已都已经在三角形的几何性在三角形的几何性质中得到充分体中得到充分体现所以，三角形成所以，三角形成为平面几何所研究的主角，就在于它既平面几何所研究的主角，就在于它既简单而又能充分反映空而又能充分反映空间的本的本质而在三角形中，而在三角形中，等腰三角形和直角三角形是最等腰三角形和直角三角形是最为基本的•定性平面几何研究的主定性平面几何研究的主题是是“全等形全等形”和和“平行性平行性”其中有两个核心内容，一是三角形内角和定理，二其中有两个核心内容，一是三角形内角和定理，二是等腰三角形的性是等腰三角形的性质•定量平面几何中，要定量平面几何中，要对不等不等长的两条的两条线段、不同大小的两个角区或不同大小的两个区域，段、不同大小的两个角区或不同大小的两个区域，赋予两者之予两者之间定定量的比量的比值去度量两者之去度量两者之间的差异。

的差异这时，平行性扮演着，平行性扮演着举足足轻重的重的“角色角色”，其作用是大大，其作用是大大简化了定量几化了定量几何的基何的基础理理论和基本公式由此得到的是和基本公式由此得到的是简朴好用的矩形面朴好用的矩形面积公式、勾股定理和相似三角形定理公式、勾股定理和相似三角形定理•三角学就是以三角学就是以这三个定理三个定理为基基础，，讨论三角形的各种几何量（三三角形的各种几何量（三边长、三个内角的度数、面、三个内角的度数、面积、高、外径、高、外径和内径等）之和内径等）之间的函数关系，的函数关系，锐角三角函数角三角函数则是是讨论直角三角形各种几何量之直角三角形各种几何量之间的函数关系，它的函数关系，它为讨论一一般三角形奠定了基般三角形奠定了基础因此，研究直角三角形的种种性因此，研究直角三角形的种种性质对定量平面几何有奠基作用定量平面几何有奠基作用•“锐角三角函数角三角函数”就是在研究勾股定理、相似三角形的基就是在研究勾股定理、相似三角形的基础上，上，进一步一步讨论直角三角形的直角三角形的边角之角之间的关系，的关系，主要内容是正弦、余弦和正切等主要内容是正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，并角三角函数的概念，并综合运用合运用这些知些知识解直角三角形．解直角三角形．锐角三角函数的定角三角函数的定义过程程•以以“比比萨斜塔斜塔纠偏偏问题”引入，以引入，以“对于直角三角形，我于直角三角形，我们已已经知道三知道三边之之间、两个、两个锐角之角之间的关系，它的关系，它的的边角之角之间有什么关系呢？有什么关系呢？”提出提出问题，然后研究，然后研究锐角的正弦，再角的正弦，再给出出锐角的余弦、正切。

角的余弦、正切锐角的正弦的定角的正弦的定义•先利用先利用“直角三角形中，直角三角形中，30°角所角所对的的边是斜是斜边的一半的一半”，得到，得到30°角所角所对的的边与斜与斜边的比的比值；再；再讨论45°、、 60°角所角所对的的边与斜与斜边的比的比值；然后；然后讨论一般情况：相似直角三角形中，一个一般情况：相似直角三角形中，一个锐角的角的对边与斜与斜边的比，随着的比，随着这个个锐角的角的变化而化而变化，随着它的确定而唯一确定，把化，随着它的确定而唯一确定，把Rt△△ABC中中锐角角A的的对边与斜与斜边的比叫做的比叫做∠∠A的正弦关于概念的教学关于概念的教学环节•概念的引入概念的引入——借助具体事例，从数学概念体系的借助具体事例，从数学概念体系的发展展过程或解决程或解决实际问题的需要引入概念；的需要引入概念；•概念属性的概念属性的归纳——对典型丰富的具体例典型丰富的具体例证进行属性的分析、比行属性的分析、比较、、综合，合，归纳不同例不同例证的共同特征；的共同特征；•概念的明确与表示概念的明确与表示——下定下定义，，给出准确的数学出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；言描述（文字的、符号的）；•概念的辨析概念的辨析——以以实例例为载体分析概念关体分析概念关键词的意的意义（恰当使用反例）；（恰当使用反例）；•概念的巩固概念的巩固应用用——用概念解决用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步，形成用概念作判断的具体步骤；；•概念的概念的“精致精致”——通通过概念的概念的综合合应用，建立与相关概念的用，建立与相关概念的联系，将概念系，将概念纳入概念系入概念系统。

例例 “锐角三角函数角三角函数”的概念展开的概念展开•课题的引入的引入 从从实际需要看（比需要看（比萨斜塔斜塔纠偏偏问题）；从数学内部看（以往）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形了直角三角形边与与边的关系、的关系、角与角的关系，角与角的关系，边与角有没有确定的关系？）与角有没有确定的关系？）•概念属性的概念属性的归纳 例例证1 从最熟悉的开始，从最熟悉的开始，30°角所角所对的的边与斜与斜边的比的比值是是1/2 •思考：由思考：由这个个结论能解决什么能解决什么问题？？——当当∠∠A=30°时，已知斜，已知斜边就可求出就可求出∠∠A的的对边，反之也然反之也然•例例证2 等腰直角三角形中，等腰直角三角形中，锐角角A的的对边与斜与斜边的比是多少？由此能解决什么的比是多少？由此能解决什么问题？？•归纳：任意：任意给定定锐角角A，，∠∠A的的对边与斜与斜边的比的比值是否是否为一个确定的一个确定的值？？•概念的明确与表示概念的明确与表示 下定下定义，用符号表示用符号表示 •定定义的辨析的辨析 （（1））∠∠A为Rt△△ABC的的锐角，角， △△ABC的大小可以的大小可以变化，但化，但∠∠A的的对边与斜与斜边的比的比值不不变，即，即对于每一个于每一个锐角角A都有唯一确定的比都有唯一确定的比值与之与之对应，，这个比个比值叫做叫做∠∠A的正弦；（的正弦；（2）符号）符号sinA的理解的理解——一一个由个由A唯一确定的数，例如唯一确定的数，例如sin30°=1/2 ；等。

等•概念的巩固概念的巩固应用用 已知直角三角形的已知直角三角形的边求正弦求正弦值等•概念的精致概念的精致 解直角三角形解直角三角形谢谢倾听听请提宝提宝贵意意见。