江苏省常州市教育学院附属中学高一数学理上学期期末试题含解析.docx

江苏省常州市教育学院附属中学高一数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的递减区间是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，参考答案：A【分析】通过三角恒等变换，将，转化为，再令求解.【详解】因为令解得所以函数的递减区间是，故选：A【点睛】本题主要考查了两角和与差三角函数公式的逆用及余弦函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.2. 数列{an}满足，且对任意的都有，则数列的前100项的和为（）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】先利用累加法求出，再利用裂项相消法求解.【详解】∵，∴，又，∴∴，∴数列的前100项的和为：．故选:B．【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，4）和点B（3，﹣2），则当不等式|f（x+t）﹣1|＜3的解集为（﹣1，2 ） 时，t的值为（　　）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：C【考点】绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．【专题】综合题．【分析】由不等式|f（x+t）﹣1|＜3，求出f（x+t）的范围，然后根据f（x）的图象经过点A（0，4）和点B（3，﹣2），得到f（0）=4和f（3）=﹣2的值，求出的f（x+t）的范围中的4和﹣2代换后，得到函数值的大小关系，根据函数f（x）在R上单调递减，得到其对应的自变量x的范围，即为原不等式的解集，根据已知不等式的解集（﹣1，2），列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．【解答】解：由不等式|f（x+t）﹣1|＜3，得到：﹣3＜f（x+t）﹣1＜3，即﹣2＜f（x+t）＜4，又因为f（x）的图象经过点A（0，4）和点B（3，﹣2），所以f（0）=4，f（3）=﹣2，所以f（3）＜f（x+t）＜f（0），又f（x）在R上为减函数，则3＞x+t＞0，即﹣t＜x＜3﹣t，解集为（﹣t，3﹣t），∵不等式的解集为（﹣1，2），∴﹣t=﹣1，3﹣t=2，解得t=1．故选C．【点评】此题考查了绝对值不等式的解法，以及函数单调性的性质．把不等式解集中的﹣2和4分别换为f（3）和f（0）是解本题的突破点，同时要求学生熟练掌握函数单调性的性质．4. 函数在上为增函数,则实数的取值范围是  （   ）A.          B.        C.        D.  参考答案：B5. 函数f（x）=log2（2x）的最小值为（　　）A．0 B． C． D．参考答案：C【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用换元法，结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：由条件可知函数的定义域为（0，+∞），则f（x）=log2（2x）=log2x?（）=log2x?（2+2log2x），设t=log2x，则函数等价为y=t（1+t）=t2+t=（t+）2﹣，故当t=﹣时，函数取得最小值﹣，故选：C【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据对数的运算法则，利用换元法是解决本题的关键．6. 下列函数为偶函数且在上为增函数的是（    ） A．      B．      C．    D．参考答案：B7. 在中，若，则一定是（     ）A．钝角三角形 B．锐角三角形       C．直角三角形       D．不能确定参考答案：C8. 在数列{an}中，a1=，an+1=1﹣，则a10=（　　）A．2 B．3 C．﹣1 D． 参考答案：D【分析】由a1=，an+1=1﹣，可得an+3=an．即可得出．【解答】解：∵a1=，an+1=1﹣，∴a2=1﹣2=﹣1，同理可得：a3=2，a4=，…，∴an+3=an．∴a10=a3×3+1=a1=．故选：D．9. 已知，，直线，若直线l过线段AB的中点，则a=（  ）A. -5 B. 5 C. -4 D. 4参考答案：B【分析】根据题意先求出线段AB的中点，然后代入直线方程求出的值.【详解】因为，，所以线段中点为，因为直线过线段的中点，所以，解得.故选10. 给定集合，定义 ．若 ，则集合  中的所有元素之和为 (     )A．15                 B．14             C．27             D．-14参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数R→R满足：对任意R，都有，则所有满足条件的函数f为                                 ．   参考答案：12. 若实数列1，a，b，c，4是等比数列，则b的值为　 　．参考答案：2【考点】等比数列的性质．【分析】先根据数列的第一项和第五项的值，求得公比q，进而通过等比数列的通项公式求得第三项b．【解答】解：依题意可知a1=1，a5=4∴=q4=4∴q2=2∴b=a1q2=2故答案为213. 已知函数，若，则的值为      . 参考答案：2或略14. 已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则P与Q的大小关系为　　．参考答案：P＞Q考点： 两角和与差的余弦函数；三角函数线；两角和与差的正弦函数．  专题： 三角函数的求值．分析： 作差由和差化积公式可得P﹣Q=2cos（sin﹣cos），由锐角三角形角的范围可判每个式子的正负，由此可得结论．解答： 解：由题意可得P﹣Q=（sinA+sinB）﹣（cosA+cosB）=2sincos﹣2coscos=2cos（sin﹣cos）∵△ABC是锐角三角形，∴A+B=π﹣C＞，∴＞，∴sin＞cos，由A和B为锐角可得﹣＜＜，∴cos＞0，∴P﹣Q＞0，即P＞Q，故答案为：P＞Q．点评： 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及和差化积公式及三角函数的值域，属中档题．15. 若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则_____________. 参考答案：略16. 与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是　　．参考答案：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程．【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2=18，其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为．所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．17. 已知，则= 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，在圆上．（1）求圆M的方程；（2）过点D(3,1)的直线l交圆M于E，F两点．　①若弦长EF=8，求直线l的方程；②分别过点E，F作圆M的切线，交于点P，判断点P在何种图形上运动，并说明理由.参考答案：解：（1）设圆的方程为：，由题意可得解得，，，故圆的方程为．　（2）由（1）得圆的标准方程为．①当直线的斜率不存在时，的方程是，符合题意；当直线的斜率存在时，设为，则的方程为，即，由，可得圆心到的距离，故，解得，故的方程是，所以，的方程是或．②设，则切线长，故以为圆心，为半径的圆的方程为，化简得圆的方程为：，①又因为的方程为，②②①化简得直线的方程为，将代入得：，故点在直线上运动． 19. 已知函数的最小正周期为.(Ⅰ)求的值;     (Ⅱ)求在区间上的最小值以及此时的值.参考答案：解：由题意：（I）   (II)由（I）可知       即时 略20. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．【解答】解　（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1，4和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1，3和2，1两个．因此所求事件的概率P==．（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．又满足条件n≥m+2的事件为：（1，3），（1，4），（2，4），共3个，所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=．故满足条件n＜m+2的事件的概率为1﹣P1=1﹣=．21. 如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4．E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G．（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣EFD1的体积V．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）方法一：欲证明平面B1EF⊥平面BDD1B1，先证直线与平面垂直，观察平面BDD1B1为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的对角面，所以AC⊥平面BDD1B1，故连接AC，由EF∥AC，可得EF⊥平面BDD1B1方法二：欲证明平面B1EF⊥平面BDD1B1，先证直线与平面垂直，由题意易得EF⊥BD，又EF⊥D1D，所以EF⊥平面BDD1B1（2）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．由第（1）问可知，点D1到平面B1EF的距离d即为点D1到平面B1EF与平面BDD1B1的交线B1G的距离，故作D1H⊥B1G，垂足为H，所以点D1到平面B1EF的距离d=D1H．下面求D1H的长度．解法一：在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中，利用三角函数可解．解法二：在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中，利用三角形相似可解．解法三：在矩形BDD1B1及△D1GB1中，观察面积大小关系可解．（3）本题的设问是递进式的，第（2）问是为第（3）问作铺垫的．解决三棱锥求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，由第（2）问可知，D1H即为三棱锥B1﹣EFD1的高，所以B1EF。