线性代数(各版通用)5讲例题-初等变换-秩..ppt

复习复习: :可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质: : A,B可逆可逆 1 伴随矩阵: A为n 阶方阵 2.3.2 2.3.2 可逆的条件可逆的条件 2 称 为矩阵A的伴随矩阵伴随矩阵. A A * * 是用方阵是用方阵A A的元素的代数余子式的元素的代数余子式 组成的矩阵组成的矩阵. . 3 A A﹡ ﹡= A﹡ ﹡A =｜A｜E ｜A｜≠０ A( A﹡ ﹡)=( A﹡ ﹡)A =E 引理引理2.1 2.1 ( (基本公式基本公式) )A为为n阶方阵阶方阵 4 设 A 为数域 F 上 n 阶方阵,则 1. A 可逆｜A｜≠0 2. A 可逆时, A-1= 定理定理 2.2 2.2 从而从而 | |A|A| 0 0. .必要性得证必要性得证. . 证证若 若A A可逆可逆, ,则则 5 故矩阵故矩阵A可逆可逆,且且  在|A|  0时, 若若 |A|  0, 则由则由 也可逆也可逆 6   ｜A｜= 0 时, 称 A 为奇异阵奇异阵 ｜A｜≠0 时, 称 A 为非奇异阵非奇异阵 7 例例1 1讨论并求讨论并求 2 2 阶矩阵的逆矩阵阶矩阵的逆矩阵 解解 当当时时A 可逆可逆, ,   利用伴随矩阵求逆矩阵利用伴随矩阵求逆矩阵 8 求满足矩阵方程 AX=B 的矩阵 X, 解解 X =A-1B = 还可以用初等变换求解还可以用初等变换求解 例例2 2 其中 9 已知A为为 n 阶方阵阶方阵, ,满足满足矩阵方程 证明A 和A-2E 都可逆,并求逆矩阵 . 证证 例例3 3 10 例例4 4 已知 A为方阵且 证明 证证因为 所以 可逆，而且 11 解解 设设 设设, ,计算计算 则则 例例5 5 12 13 设A, B是三阶方阵， 则则 解解 例例6 6 由 14 例例7 7设A是三阶方阵，且 解解由 15 设设A为为3 3阶方阵阶方阵, , A* *为为A的伴随矩阵的伴随矩阵, , 且且|A|=1/2, , 则则|(3A)-1-2 A*|的值为的值为( ). ( ). ( (A) 16/27 (B)A) 16/27 (B)- -4/3 (C) 5 (D) 4/3 (C) 5 (D) - -16/2716/27 |(3|(3A) ) - -1 1 - -2 2A*| = |(1/3) *| = |(1/3) A - -1 1 - -2| 2|A| |A -1-1 | | = |(1/3) = |(1/3) A - -1 1- -A- -1 1 | | =|( =|(- -2/3) 2/3) A - -1 1 | =(| =(- -2/3)2/3) 3 3| |A- -1 1 | | =( =(- -8/27)8/27) 2 =2 =- -16/27.16/27. 例例8 8 解解 A A*= *= A* *A =| =|A| |E， A可逆可逆, ,且且 A*=|*=|A| | A - -1 1 16 设A是n 阶方阵，的伴随矩阵, 试证: 证证由 下面分三种情况讨论: (1)若则则 (2)若且则则 显然结论成立: 有 例例9 9 17 (3)若而下面证明 反证:若 则则 可逆可逆, , 所以所以 这与这与 矛盾矛盾. . 18 例例1010 设A、B、C均均为n 阶方阵, 且ABC=E, 则有则有( ).( ). (A)ACB=E; (B) CBA=E; (C) BAC=E; (D) BCA=E. 分析分析 矩阵和它的逆矩阵是乘法可交换的矩阵和它的逆矩阵是乘法可交换的. . 由题设知由题设知A,AB,ABC,C,BC 等都是可等都是可 逆阵逆阵. . 解解因为ABC=E, 即即A(BC)=E, 所以有所以有(BC) A=E, 即即BCA=E. 而而( (A),(B),(C) A),(B),(C) 中各项都没有交换律中各项都没有交换律. . D D 19 uu 总结关于方阵总结关于方阵 A : : A 可逆可逆 | |A| A|   0 AAAA * * =A=A * * A A=|=|A| EA| E 在|A|  0时, 求逆公式求逆公式: : 20 这个求逆方法用起来真不方便这个求逆方法用起来真不方便! ! 有好用点的吗有好用点的吗? ? 有有, ,不过说来话长不过说来话长, , 只能下面讲只能下面讲. . 21 本节内容提要本节内容提要   矩阵的初等变换矩阵的初等变换   矩阵的等价矩阵的等价   矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形 2.42.4 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 22 解线性方程组的过程中经常用到解线性方程组的过程中经常用到: : 问题的引入问题的引入 1.1.互换两个方程的位置互换两个方程的位置. . 2.2.用一个非零常数乘某个方程用一个非零常数乘某个方程. . 3.3.把一个方程的倍数加到另一个方程上去把一个方程的倍数加到另一个方程上去 . . 这三种变换不改变方程组的解这三种变换不改变方程组的解, ,且对且对 应与矩阵的三种变换应与矩阵的三种变换. . 23 l l 矩阵的三种初等矩阵的三种初等行行变换变换: : ²² 换法变换换法变换: : rirj ²² 倍法变换：倍法变换：ri ( 0 0)ri ²² 消法变换消法变换: : k krj + +r i ri l l 矩阵的三种初等矩阵的三种初等列列变换变换：： ²² 换法变换换法变换: : cicj ²² 倍法变换：倍法变换：ci ( (   0)0)ci ²² 消法变换：消法变换：k kcj + +c i c ci 2.4.12.4.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 24 问问 题题 如果矩阵如果矩阵A A 经过初等变换变为经过初等变换变为B B , , 那么那么A A 与与B B 之间究竟有何种关系之间究竟有何种关系? ? 定义定义 矩阵的三种初等矩阵的三种初等行行变换和三种初等变换和三种初等 列列变换统称为矩阵的变换统称为矩阵的初等变换初等变换. . • •初等变换可逆初等变换可逆. . • •第三种初等变换保持行列式值不变第三种初等变换保持行列式值不变. . • •初等变换保持矩阵可逆性不变初等变换保持矩阵可逆性不变. . 25 • 性质性质: 自反性自反性A 与与 A 等价等价; ; 对称性对称性若若A 与与B等价等价，则则B与与A等价等价; ; 传递性传递性若若A与与B等价等价，B 与与C等价等价， 则则A与与C等价等价. . 初 → • 若A B，则称则称A 与与 B 等价等价. . 2.4.22.4.2 矩阵的等价矩阵的等价 • A与与B等价等价A与与B同形同形且等秩等秩. . 26 2.4.3 2.4.3 矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形 定义定义 满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯行阶梯 形形矩阵或阶梯形阶梯形矩阵: (1) 零行全部位于非零行下方, (2) 非零行的左起第一个非零元素的 列数由上至下严格递增. 例例1 1 行阶梯形行阶梯形 27 行最简形行最简形 定义定义 如果阶梯形矩阵A满足: (1) 非零行左起第一个非零元素都是1, (2) 非零行左起第一个非零元所在列只有一 个非零元. 则称矩阵A为行最简形行最简形矩阵. 例例2 2 28 矩阵的标准形矩阵的标准形 注注 任意矩阵任意矩阵A A都可以经过一系列初等都可以经过一系列初等 变换化为标准形式变换化为标准形式：： A的等价标准形的等价标准形 定义定义 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵, 其余元素都是零 . 则称这个矩阵为 标准形标准形 矩阵（唯一）. 29 的矩阵都是的矩阵都是标准形标准形矩阵矩阵. . 用分块矩阵的表示方法用分块矩阵的表示方法, ,形如形如: : 30 结 论 1 任一矩阵A都可经初等行初等行变换化成行阶梯形行阶梯形; 2 任一矩阵A都可经初等行初等行变换化成行最简形行最简形; ; 3 任一矩阵A都可经初等初等变换化成标准形标准形. A 阶梯形 行行 → 行行 → A 最简形 →A标准形 初初 31 3 2 3 4 5 9 3 1 0 2 1 5 0 1 3 2 6 10 6 4 6 8 12 24 3 2 3 4 5 9 0 1 3 2 4 4 0 0 0 0 2 6 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 10/3 0 1 3 2 0 -8 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 行行 → 行行 → 列列 → 行阶梯形 行最简形 标准形 E3 0 0 0 = 例例3 3 化化 简简 32 2.52.5 矩阵的秩矩阵的秩 本节内容提要本节内容提要   矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念   矩阵的矩阵的秩的求法秩的求法 33 2.5.12.5.1 矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念 定义定义 矩阵A的子方阵的行列式称为矩阵A 的 一 个子式. 1 1 子矩阵子矩阵 定义定义 划去A的某些行或列后剩下的元素， 按原顺序构成的矩阵称为矩阵A的一 个子矩阵. 2 2 子子 式式 34 子矩阵子行列式 例例1 1 35 3 3 矩阵秩的定义矩阵秩的定义 A的非零子式的最高阶数r. . 记作: r(A)=r并规定: r r(0)=0. , 例例2 2 3阶子式只有一个，且 , 所以 l l秩秩( (A A) )= =rA A中存在一个中存在一个r阶非零子式阶非零子式, ,但但 其中任意其中任意r+1+1阶子式都等于零阶子式都等于零 . . r r(A)=2. A的秩: 36 4 4 运算性质运算性质 若 A 是m×n 矩阵，则 1. 0 ≤r r(A)≤min{m,n} 2. r r(AT) = r r(A) 3. r r(kA) = 0, k=0 r r (A), k≠0 4. r r(A1)≤r r(A),(A1为 A的子阵) 37 定理定理2.32.3 初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩. . 求法:A A 行阶梯形阵行阶梯形阵 初 → 1. 2.行阶梯形矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩= =非零行的个数非零行的个数 . 2.5.2 2.5.2 秩的求法秩的求法 l l可以通过初等变换把矩阵化为阶梯形可以通过初等变换把矩阵化为阶梯形 来求矩阵的秩来求矩阵的秩. . 38 注注 ,称 A A 为为列满秩列满秩. . n方阵方阵A可逆 ,称 A A 为满秩阵满秩阵. . ,称 A A 为为行满秩行满秩 . . 如果矩阵A、B 等价标准形就相同，等价 标准形中对角线上1的个数是由秩确定的. 39 例例3 3 其中其中 解解 1 并求 可求 40 (^-^) (^-^) Bye!Bye! 预预 习习 完完 2.72.7 41 证证 A A2 2 = =E E ( (A A+ +E E)( )(A A- -E E)=)=0 0 | |A A+ +E E| | | |A A- -E E|=|=0 0 由于由于A A E E , | , |A A- -E E| | 0 0, , 所以所以| |A A+ +E E|=|=0 0, , 从而从而A A+ +E E不可逆不可逆. . [ [错误错误: : 由由A A E E无法得到无法得到| |A A- -E E| | 0 0] ] 证证 由由 A A 2 2 = =E E( (A A+ +E E)( )(A A- -E E)=0. ()=0. (用反证法用反证法) ) 如果如果A A+ +E E可逆可逆, , 可得可得A A- -E E=0, =0, 与已知矛与已知矛 盾盾. . 。