云南省2019年中考数学总复习第五章四边形第二节矩形菱形正方形课件.ppt

第二节　矩形、菱形、正方形第二节　矩形、菱形、正方形考点一考点一 矩形判定及性质的相关计算矩形判定及性质的相关计算例例1 1(2015·(2015·云南省卷云南省卷) )如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，ABAB＝＝4 4，，ADAD＝＝6 6，，M M，，N N分别是分别是ABAB，，CDCD的中点，的中点，P P是是ADAD上的点，且上的点，且∠∠PNBPNB＝＝3∠CBN.3∠CBN.(1)(1)求证：求证：∠∠PNMPNM＝＝2∠CBN2∠CBN；；(2)(2)求线段求线段APAP的长．的长．【【分析分析】】 (1) (1)由由MN∥BCMN∥BC，易得，易得∠∠CBNCBN＝＝∠∠MNBMNB，由已知，由已知∠∠PNBPNB＝＝3∠CBN3∠CBN，根据角的和差即可得出结论；，根据角的和差即可得出结论；(2)(2)连接连接ANAN，根据，根据矩形的轴对称性，可知矩形的轴对称性，可知∠∠PANPAN＝＝∠∠CBNCBN，由，由(1)(1)知知∠∠PNMPNM＝＝2∠CBN2∠CBN＝＝2∠PAN2∠PAN，由，由AD∥MNAD∥MN，可知，可知∠∠PANPAN＝＝∠∠ANMANM，所以，所以∠∠PANPAN＝＝∠∠PNAPNA，根据等角对等边得到，根据等角对等边得到APAP＝＝PNPN，再用勾股定理，再用勾股定理列方程求出列方程求出AP.AP.【【自主解答自主解答】】 (1) (1)证明：证明：∵∵四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，M M，，N N分别分别是是ABAB，，CDCD的中点，的中点，∴∴MN∥BCMN∥BC，，∴∠∴∠CBNCBN＝＝∠∠MNBMNB，，∵∠∵∠PNBPNB＝＝3∠CBN3∠CBN，，∴∠∴∠PNMPNM＝＝2∠CBN2∠CBN；；(2)(2)解：如解图，连接ANAN，根据矩形的轴对称性，可知∠∠PANPAN＝∠∠CBNCBN，∵∵MN∥ADMN∥AD，∴∠∴∠PANPAN＝∠∠ANMANM，由(1)(1)知∠∠PNMPNM＝2∠CBN2∠CBN，∴∠∴∠PANPAN＝∠∠PNAPNA，∴∴APAP＝PNPN，∵∵ABAB＝CDCD＝4 4，M M，N N分别为ABAB，CDCD的中点，∴∴DNDN＝2 2，设APAP＝x x，则PDPD＝6 6－x x，在Rt△PDNRt△PDN中，PDPD2 2＋DNDN2 2＝PNPN2 2，∴(6∴(6－x)x)2 2＋2 22 2＝x x2 2，解得：x x＝ ，∴∴APAP＝ . .1 1．．(2016·(2016·昆明昆明) )如图，如图，E E，，F F，，G G，，H H分别是矩形分别是矩形ABCDABCD各边各边的中点，的中点，ABAB＝＝6 6，，BCBC＝＝8 8，则四边形，则四边形EFGHEFGH的面积是的面积是_____._____.　　 24 24 考点二考点二 菱形判定及性质的相关计算菱形判定及性质的相关计算例例2 2(2017·(2017·云南省卷云南省卷) )如图，如图，△△ABCABC是以是以BCBC为为底的等腰三角形，底的等腰三角形，ADAD是边是边BCBC上的高，点上的高，点E E、、F F分别是分别是ABAB、、ACAC的中点．的中点．(1)(1)求证：四边形求证：四边形AEDFAEDF是菱形；是菱形；(2)(2)如果四边形如果四边形AEDFAEDF的周长为的周长为1212，两条对角线的和等于，两条对角线的和等于7 7，求，求四边形四边形AEDFAEDF的面积的面积S.S.【【分析分析】】 (1) (1)先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DEDE＝＝ ABAB＝＝AEAE，，DFDF＝＝ ACAC＝＝AFAF，再根据，再根据ABAB＝＝ACAC，点，点E E、、F F分别是分别是ABAB、、ACAC的中点，即可得到的中点，即可得到AEAE＝＝AFAF＝＝DEDE＝＝DFDF，进而判定四边形，进而判定四边形AEDFAEDF是菱形；是菱形；(2)(2)设设EFEF＝＝x x，，ADAD＝＝y y，则，则x x＋＋y y＝＝7 7，进而得到，进而得到x x2 2＋＋2xy2xy＋＋y y2 2＝＝4949，再根据，再根据RtRt△AOE△AOE中，中，AOAO2 2＋＋EOEO2 2＝＝AEAE2 2，得到，得到x x2 2＋＋y y2 2＝＝3636，据此可得，据此可得xyxy＝＝ ，进而得到菱形，进而得到菱形AEDFAEDF的面积的面积S.S.【【自主解答自主解答】】(1)(1)证明：∵∵AD⊥BCAD⊥BC，点E E、F F分别是ABAB、ACAC的中点，∴∴在Rt△ABDRt△ABD中，DEDE＝ ABAB＝AEAE，在Rt△ACDRt△ACD中，DFDF＝ ACAC＝AFAF，又∵∵ABAB＝ACAC，点E E、F F分别是ABAB、ACAC的中点，∴∴AEAE＝AFAF，∴∴AEAE＝AFAF＝DEDE＝DFDF，∴∴四边形AEDFAEDF是菱形；(2)(2)解：如解图，设解：如解图，设ADAD与与EFEF的交点为点的交点为点O O，，∵∵菱形菱形AEDFAEDF的周长为的周长为1212，，∴∴AEAE＝＝3 3，设，设EFEF＝＝x x，，ADAD＝＝y y，，则则x x＋＋y y＝＝7 7，，∴∴x x2 2＋＋2xy2xy＋＋y y2 2＝＝49 ①49 ①，，∵∵AD⊥EFAD⊥EF于于O O，，∴∴在在Rt△AOERt△AOE中，中，AOAO2 2＋＋EOEO2 2＝＝AEAE2 2，，∴∴( y)( y)2 2＋＋( x)( x)2 2＝＝3 32 2，即，即x x2 2＋＋y y2 2＝＝36 ②36 ②，，把把②②代入代入①①，可得，可得2xy2xy＝＝1313，，∴∴xyxy＝＝ ，，∴∴菱形菱形AEDFAEDF的面积的面积S S＝＝ xyxy＝＝ . .1 1．．(2015·(2015·昆明昆明) )如图，在菱形如图，在菱形ABCDABCD中，中，对角线对角线ACAC、、BDBD相交于点相交于点O O，下列结论：，下列结论：①AC⊥BD①AC⊥BD；；②OA②OA＝＝OBOB；；③∠ADB③∠ADB＝＝∠CDB∠CDB；；④△ABC④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是是等边三角形，其中一定成立的是( )( )A A．．①② B①② B．．③④ C③④ C．．②③ D②③ D．．①③①③D D2 2．．(2016·(2016·云南省卷云南省卷) )如图，菱形如图，菱形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC与与BDBD交于交于点点O O，，∠∠ABC∶∠BADABC∶∠BAD＝＝1∶21∶2，，BE∥ACBE∥AC，，CE∥BD.CE∥BD.(1)(1)求求tantan∠DBC∠DBC的值；的值；(2)(2)求证：四边形求证：四边形OBECOBEC是矩形．是矩形．(1)(1)解：∵∵四边形ABCDABCD是菱形，∴∴AD∥BCAD∥BC，∠∠DBCDBC＝ ∠ ∠ABCABC，∴∠∴∠ABCABC＋∠∠BADBAD＝180°180°，∵∠∵∠ABC∶∠BADABC∶∠BAD＝1∶21∶2，∴∠∴∠ABCABC＝60°60°，∴∠∴∠DBCDBC＝ ∠ ∠ABCABC＝30°30°，∴∴tan∠DBCtan∠DBC＝tan30°tan30°＝ ；(2)(2)证明：证明：∵BE∥AC∵BE∥AC，，CE∥BDCE∥BD，，∴BE∥OC∴BE∥OC，，CE∥OBCE∥OB，，∴∴四边形四边形OBECOBEC是平行四边形，是平行四边形，∵∵四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，∴AC⊥BD∴AC⊥BD，即，即∠BOC∠BOC＝＝90°90°，，∴∴四边形四边形OBECOBEC是矩形．是矩形．考点三考点三 正方形性质的相关计算正方形性质的相关计算例例3 3 如如图图，，在在矩矩形形ABCDABCD中中，，AEAE平平分分∠∠BADBAD，，交交BCBC于于E E，，过过E E作作EF⊥ADEF⊥AD于于F F，连接，连接BFBF交交AEAE于于P P，连接，连接PD.PD.(1)(1)求证：四边形求证：四边形ABEFABEF是正方形；是正方形；(2)(2)如果如果ABAB＝＝6 6，，ADAD＝＝8 8，求，求tantan∠ADP∠ADP的值．的值．【【分析分析】】 (1) (1)由矩形的性质得出由矩形的性质得出∠∠FABFAB＝＝∠∠ABEABE＝＝90°90°，再由，再由EF⊥ABEF⊥AB，证出四边形，证出四边形ABEFABEF是矩形，再证明是矩形，再证明ABAB＝＝BEBE，即可得出，即可得出四边形四边形ABEFABEF是正方形；是正方形；(2)(2)由正方形的性质得出由正方形的性质得出BPBP＝＝PFPF，，BA⊥ADBA⊥AD，，∠∠PAFPAF＝＝45°45°，得出，得出AB∥PHAB∥PH，求出，求出DHDH＝＝ADAD－－AHAH＝＝5 5，，在在RtRt△PHD△PHD中，由三角函数即可得出结果．中，由三角函数即可得出结果．【【自主解答自主解答】】(1)(1)证明：证明：∵∵四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，∴∠∴∠FABFAB＝＝∠∠ABEABE＝＝90°90°，，∵∵EF⊥ADEF⊥AD，，∴∠∴∠AFEAFE＝＝90°90°，，∴∴四边形四边形ABEFABEF是矩形，是矩形，∵∵AEAE平分平分∠∠BADBAD，，AF∥BEAF∥BE，，∴∠∴∠FAEFAE＝＝∠∠BAEBAE＝＝∠∠AEBAEB，，∴∴ABAB＝＝BEBE，，∴∴四边形四边形ABEFABEF是正方形．是正方形． (2)(2)解：过点P P作PH⊥ADPH⊥AD于H H，如解图所示：∵∵四边形ABEFABEF是正方形，∴∴BPBP＝PFPF，BA⊥ADBA⊥AD，∠∠PAFPAF＝45°45°，AB∥PHAB∥PH，∵∵ABAB＝6 6，∴∴AHAH＝PHPH＝3 3，∵∵ADAD＝8 8，∴∴DHDH＝ADAD－AHAH＝8 8－3 3＝5 5，在Rt△PHDRt△PHD中，∠∠PHDPHD＝90°.90°.∴tan∠ADP∴tan∠ADP＝ ＝ . .1 1．．(2016(2016··昆明昆明) )如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，ACAC为对角线，为对角线，E E为为ABAB上一点，过点上一点，过点E E作作EF∥ADEF∥AD，与，与ACAC、、DCDC分别交于点分别交于点G G，，F F，，H H为为CGCG的中点，连接的中点，连接DEDE，，EHEH，，DHDH，，FH.FH.下列结论：下列结论：①①EGEG＝＝DFDF；；②∠②∠AEHAEH＋＋∠∠ADHADH＝＝180°180°；；③△③△EHF≌△DHCEHF≌△DHC；；④④若若 ＝＝ ，则，则3S3S△EDH△EDH＝＝13S13S△DHC△DHC，，其中结论正确的有其中结论正确的有( )( )A A．．1 1个个 B B．．2 2个个 C C．．3 3个个 D D．．4 4个个 D D。