2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习1（含答案）.docx

2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习1在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝﹣x＋6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．(1)求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；(2)现有二次函数y＝x2﹣8x＋c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；(3)在(2)的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝﹣x2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A(﹣4，0)，B(4，0)，设点F(m，0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．(1)求抛物线C的函数解析式；(2)若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；(3)如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A和点C(﹣1，0)，与y轴交于点B(0，3)，连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；(3)如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(﹣2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相较于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标.如图，抛物线y＝2x2＋bx＋c过A(﹣1，0)、B(3，0)两点，交y轴于点C，连接BC．(1)求该抛物线的表达式和对称轴；(2)点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；(3)将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标；(4)若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1,﹣4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P(m,n)在第一象限的抛物线上，且m＋n＝9，求点P的坐标；段PA上确定一点M，使DM平分四边形ACDP的面积，求点M的坐标；(3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接OQ、AQ，设AOQ的外心为H，当sin∠OQA的值最大时，请直接写出点H的坐标．如图，已知二次函数y=ax2＋x＋c的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C的坐标为(8，0)，连接AB、AC．(1)请直接写出二次函数y=ax2＋x＋c的表达式；(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；(4)若点N段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．(1)已知点P(2，2)，以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x＋3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数y＝x2﹣4x＋4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x＋4(0＜a＜1)图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．如图，已知抛物线y＝(x﹣2)(x＋a)(a＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．(1)若抛物线过点M(﹣2，﹣2)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH＋EH的值最小，直接写出点H的坐标．九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 　 　．(2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙)？(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．答案解：(1)∵，∴，∴函数y1和y2图象交点坐标(2，4)；y0关于x的函数关系式为y0＝ ；(2)∵对于函数y0，y0随x的增大而减小，∴y0＝﹣x＋6(x ≥2)，又∵函数y＝x 2﹣8x＋c的对称轴为直线x＝4，且a＝1＞0，∴当x＜4时，y随x的增大而减小，∴2≤x ＜4；(3)①若函数y＝x 2﹣8x＋c与y0＝﹣x＋6只有一个交点，且交点在2＜x ＜4范围内，则x 2﹣8x＋c＝﹣x＋6，即x 2﹣7x＋( c﹣6)＝0，∴Δ＝(﹣7)2﹣4( c﹣6)＝73﹣4c＝0，解得c＝ ，此时x1＝x2＝ ，符合2＜x ＜4，∴c＝ ；②若函数y＝x 2﹣8x＋c与y0＝﹣x＋6有两个交点，其中一个在2＜x ＜4范围内，另一个在2＜x ＜4范围外，∴Δ＝73﹣4c＞0，解得c ＜ ，∵对于函数y0，当x＝2时，y0＝4；当x＝4时y0＝2，又∵当2＜x ＜4时，y随x的增大而减小，若y＝x 2﹣8x＋c与y0＝﹣x＋6在2＜x ＜4内有一个交点，则当x＝2时y＞y0；当x＝4时y＜y0，即当x＝2时，y≥4；当x＝4时，y≤2，∴，解得16＜c ＜18，又c ＜ ，∴16＜c ＜18，综上所述，c的取值范围是：c＝ 或16＜c ＜18．解：(1)由题意把点A(﹣4，0)，B(4，0)，代入y＝﹣x2＋bx＋c中，得：，解得：，∴抛物线C的函数解析式为：y＝﹣x2＋8；(2)如图1，由题意抛物线C′的顶点坐标为(2m，﹣8)，设抛物线C′的解析式为：y＝(x﹣2m)2﹣8，由，消去y得到：，∵抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，∴，解得：4＜m＜4，∴满足条件的m的取值范围为：4＜m＜4；(3)结论：四边形PMP'N能成为正方形．理由：情形1，如图2，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P(4，4)，当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP'N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，∵∠PEF＝∠FHM＝90°，∴∠PFE＋∠FPE＝90°，∠PFE＋∠MFH＝90°，在△PFE和△FMH中，∴，∴△PFE≌△FMH(AAS)，∴PE＝FH＝4，EF＝HM＝4﹣m，∴M(m＋4，m﹣4)，∵点M在y＝﹣x2＋8上，∴m﹣4＝﹣(m＋4)2＋8，解得m=﹣6+2或m=﹣﹣2(舍)，∴m＝﹣6＋2时，四边形PMP'N是正方形．情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M(m﹣4，4﹣m)，把M(m﹣4，4﹣m)代入y＝﹣x2＋8中，4﹣m＝﹣(m﹣4)2＋8，解得m＝12或m＝0(舍去)，∴m＝12时，四边形PMP′N是正方形．综上，四边形PMP′N能成为正方形，m＝﹣6＋2或12．解：(1)由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋x＋3；(2)对于y＝﹣x2＋x＋3，令y＝﹣x2＋x＋3＝0，解得x＝4或﹣1，故点A的坐标为(4，0)，则PF＝2，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x＋3，设点P的坐标为(x，﹣x2＋x＋3)，则点E(x，﹣x＋3)，则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×(﹣x2＋x＋3＋x﹣3)＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，解得x＝1或3，故点P的坐标为(1，)或(3，3)；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为(，n)，当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，设BQ交x轴于点H，由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，故设直线BQ的表达式为y＝x＋t，该直线过点B(0，3)，故t＝3，则直线BQ的表达式为y＝x＋3，当x＝时，y＝x＋3＝5，即n＝5；②当∠BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，∵∠BQN＋∠MQA＝90°，∠MQA＋∠MAQ＝90°，∴∠BQN＝∠MAQ，∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，即，解得n＝±；③当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣；综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜﹣或＋＜n＜5．解：(1)将A，C点坐标代入函数解析式，对称轴，得，解得，抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋4；(2)当y＝0时，﹣x2＋x＋4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，B(4，0)；设直线BC的解析式为y＝kx＋n(k≠0)，∵B(4，0)，C(0，4)，，解得BC的解析式为y＝﹣x＋4，过F点作FQ⊥x轴交BC于Q，如图，设点Q的坐标是(m，﹣m＋4)，则点F的坐标是(m，﹣m2＋m＋4).FQ＝(﹣m2＋m＋4)﹣(﹣m＋4)＝﹣m2＋2m，S四边形ABCF＝S△ABC＋S△BCF＝BC•OC＋FQ•xB＝×[4﹣(﹣2)]×4＋×4(﹣m2＋2m)＝﹣m2＋4m＋12＝﹣(m﹣2)2＋16，当m＝2时，S四边形ABCF最大，最大值是16，m＝2时，﹣m2＋m＋4＝4，即F点坐标是(2，4。