人教版 九年级数学上册讲义专题三 抛物线（二次函数）平行四边形存在性问题探究.docx

word版 初中数学专题三：抛物线（二次函数）平行四边形存在性问题探究导例：如图，在平行四边形ABCD中，已知A（0,0），B（1,3），D（5,0）1）你能求出点C的坐标吗？（2）分别连接AC与BD，记它们的交点为O，你能求出点O的坐标吗？通过问题（2）的求解，你能发现A、B、C、D四个顶点的坐标之间有什么关系吗？是否所有的平行四边形四个顶点的坐标都有这样的关系呢？知识储备在平行四边形ABCD中，A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），D （x4,y4），AC与BD相交于点E，点E的坐标为（x，y）结论一：x1+ x3= x2+ x4 （x1 - x2= x4- x3） y1+ y3= y2+ y4 （y1 - y2= y4- y3）结论二：x=x1+ x32=x2+ x42，y=y1+ y32=y2+ y42解题方法平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种题型，可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式，两点间距离公式，中点坐标），几何方法（构造全等三角形，相似三角形），这里我们只讨论如何用平行四边形的性质来解决相关的存在性问题，接下来就通过几道题目来整理一下这个方法。

★注意：在解决“两定两动”问题时，一定要在图上将平行四边形可能存在的情况全部画出来，再进行分类讨论同时，对求出来的答案要进行验证，看是否符合条件，不符合条件的应当舍去典例分析题型一：三定一动（三个定点和一个动点）例1：如图,抛物线y=x2+bx−c经过直线y=x−3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D.(1)求此抛物线的解析式；(2)点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M，A，B，D为平行四边形的点M的坐标方法：分别以AB、BD、AD为对角线进行分类讨论（“三定一动”模型只需要讨论对角线的情况即可）， 然后利用平行四边形对角线互相平分的性质，配合用中点坐标计★★★题型二：两定两动（两个定点和两个动点）先说说平行四边形的平移，如下图，平行四边形ABCD在坐标系中，点A和B的坐标分别为（a,n）、（b,m），根据平行四边形的性质和平移原理，B点怎么移动到A点，C点就怎么移动到D点，比如若点B先向右平移7个单位，再向下平移5个单位得到点A，那么同样的把点C的“横坐标+7” “纵坐标-5”即可到点D的坐标这个方法可以在坐标系中求解有关平行四边形的坐标问题，很实用，下面就要用到。

再说两定两动型平行四边形存在性问题的解决方法，一般可分为3个步骤：（1）分析定点、动点；（2）连接定线段，这时往往要分两种情况，若定线段是平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；若定线段是平行四边形的对角线，则定线段绕中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标；（3）结合图形进行验证.例2：如图，抛物线y=x2-2x-3经过点A(2，-3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1，已知点A(2，-3)，可求得点B（-1,0），点N在对称轴上，意味着点N的横坐标为1，设M（m，m2-2m-3），下面按步骤求解：（1）四个点A，B，M，N中，A和B是定点，M、N是动点；（2）连接AB，则定线段AB有两种情况：①当AB为边时，平移AB，由题意分别得到线段MN和MN（如下图所示）求M：根据平移原理，A(2，-3)→B（-1,0）的平移为：先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，即横坐标减去3，纵坐标加上3；则M→N的平移肯定是一样的，因为点M的横坐标为m，向左平移3个单位后得到N的横坐标为m-3，又因为点N在抛物线y=x2-2x-3的对称轴上横坐标为1，所以有m-3=1可解得m=4，代入抛物线解析式得M（4,5）.求M：类似思路由B→A 和 M→N的平移可得到M（-2,5）②AB为对角线时，取AB的中点D，把定线段AB绕点D旋转（做题时可以借助直尺）得到线段MN（如下图所示）,因为段AB上，点A(2，-3)，点B（-1,0）所以由中点坐标公式可得点D（12，-32），段MN上，点M和N的横坐标分别为m和1，其中点D的横坐标为12，则由中点坐标公式得m+12=12，进而得到m=0，所以M（0，-3）.综上，符合题目的M点的坐标共有3个，分别为（4,5）、(-2,5）、（0，-3）.强化练习1、如图4，抛物线y＝x2－2x－3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N．(1)直接写出点A，C，N的坐标．(2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解答：(1)A(－1，0)，C(0，－3)，N(－3，0)．(2)存在．若AC为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(2，－3)；若AN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(－4，3)；若CN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(－2，－3)．把这三个点的坐标分别代入验证，得点P(2，－3)在该抛物线上，因此存在符合条件的点P，点P的坐标为(2，－3)．2、如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(−3,0),B(1,0),C(0,3)三点。

1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积的一半?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解答：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)，故−3a=3，解得：a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2−2x+3…①；(2)过点B作直线AC的平行线n交y轴于点N，过点P作AC的平行线交y轴于点m，∵△ACP的面积等于△ACB的面积的一半，∴CM=12CN，由点A.C的坐标得,−3k+b=0b=3，解得k=1b=3，直线AC的表达式为：y=x+3，设直线n的解析式为y=x+q，将B(1,0)代入，得：1+q=0，即q=−1，则直线n的表达式为：y=x−1，故点N(0,−1)，即ON=1,则CN=4,CM=12CN=2，则OM=CO+CM=2+3=5，故点M(0,5)，则直线m的表达式为：y=x+5…②，联立①②并解得：x=−1或−2，故点P(−1,4)或(−2,3)；(3)①当MC∥AQ且MC=AQ时，M与C关于对称轴x=−1对称，∴AQ=MC=2，∴Q1(−1,0),Q2(−5,0)，②当AC∥MQ且AC=MQ时，点M到x轴的距离为3，设M(m,−m2−2m+3)，∴−m2−2m+3=−3，∴m2+2m−6=0，∴m=−17，∴Q3(2−7,0),Q4(2+7,0)；综上：存在点Q有四个,分别为：Q1(−1,0),Q2(−5,0),Q3(2−7,0),Q4(2+7,0)3、如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(−2,0),OB=OA,且∠AOB=120∘.(1)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式。

2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由3)若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M，N使得A，O，M，N构成的四边形是平行四边形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解答：(1)过点B作BD⊥x轴于点D,由已知可得：OB=OA=2,∠BOD=60∘，在Rt△OBD中,∠ODB=90∘,∠OBD=30∘∴OD=1,DB=3∴点B的坐标是(1, 3).设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由已知可得：c=0a+b+c=34a−2b+c=0，解得： a=33b=233c=0∴所求抛物线解析式为y=33x2+233x.(2)存在，∵△BOC的周长=OB+BC+CO，又∵OB=2∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，∵点O和点A关于对称轴对称∴连接AB与对称轴的交点即为点C，且有OC=OA此时△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+AC；点C为直线AB与抛物线对称轴的交点设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A(−2,0),B(1, 3)分别代入，得：k+b=3−2k+b=0，解得： k=33b=233，∴直线AB的解析式为y=33x+233当x=−1时,y=33，∴所求点C的坐标为(−1, 33)；(3)如图，①当以OA为对角线时，OA与MN互相垂直且平分∴点M(−1,− 33)，②当以OA为边时OA=MN且OA∥MN即MN=2，MN∥x轴设N(−1,t)则M(−3,t)或(1,t)将M点坐标代入y=33x2+233x.∴t=3∴M(−3, 3)或(1, 3)综上：点M的坐标为：M(−1,− 33)或(−3, 3)或(1, 3).4、如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．解答：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．把B（3，0），C（0，3）分别代入得：3k+b=0b=3解得：k=-1b=3所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．当x=1时，y=-1+3=2，∴E（1，2）．当x=m时，y=-m+3，∴P（m，-m+3）．在y=-x2+2x+3中，当x=1时，y=4．∴D（1，4）当x=m时，y=-m2+2m+3，∴F（m，-m2+2m+3）∴线段DE=4-2=2，线段PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m∵PF∥DE，∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．由-m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．∵S=S△BPF+S△CPF即S=12PF。