八年级数学上册 第二章 等边三角形知识点与同步训练（含解析）（新版）苏科版.doc

等边三角形一．等边三角形的概念等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是一种特殊的等腰三角形．二．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于．三．等边三角形的判定判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．四．直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．证明：，，延长至使，则有垂直平分，所以，因为，所以是等边三角形，所以，即．五．等边三角形与全等三角形综合等边三角形与全等三角形综合问题主要分两种类型：一是以等边三角形为载体来考察全等三角形的综合问题；二是利用全等三角形的性质和判定证明三角形是等边三角形．不管是哪种类型都要注意60°角和边的等量关系的应用，尤其是后面学习旋转之后，会出现一些比较难的等边三角形和全等三角形结合的问题．一．考点：1．等边三角形的性质与判定；2．直角三角形性质定理；3．等边三角形与全等三角形综合．二．重难点：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．做题时常作为隐藏条件考察．2．等边三角形的判定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形来判定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°．3．等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三角形中边的关系．4．在解决建立在等边三角形基础上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角．三．易错点：在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：一是必须在直角三角形中才能运用，锐角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是所对的直角边等于斜边的一半．题模一：等边三角形的性质例1.1.1 三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=____°．【答案】 130【解析】 ∵图中是三个等边三角形，∠3=50°，∴∠ABC=180°-60°-50°=70°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴70°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，∴∠1+∠2=130°．故答案为：130．例1.1.2 如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为____．【答案】 【解析】 该题考查的是∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为的平分线，∴，，又，∴，∴，即，∴；∵等边△ABC的周长为9，∴，∴，即．例1.1.3 在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（　　）A． AE∥BCB． ∠ADE=∠BDCC． △BDE是等边三角形D． △ADE的周长是9【答案】B【解析】 本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，∴AE∥BC，故选项A正确；∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=5，∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=5，∵∠EBD=60°，BE=BD，∴△BDE是等边三角形，故选项C正确；∴DE=BD=4，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC，∴结论错误的是B，故选：B．题模二：等边的判定例1.2.1 如图所示，AD是的中线，，，把沿直线AD折叠后，点C落在位置，则的长为________.ACDB【答案】 4【解析】 本题考察的是等边三角形．由题意，，． ，有一个角为的等腰三角形为等边三角形， ．故本题的答案是4．例1.2.2 已知：如图，点为线段上一点，，都是等边三角形，交于点，交于点．（1）求证：；（2）求证：为等边三角形．【答案】 见解析【解析】 （1），是等边三角形，，，，，即．在和中，，，，，．（2），，又，，在和中，，，，，，为等腰三角形，又，为等边三角形．例1.2.3 如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于____．【答案】 15 【解析】 如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．故答案为：15．题模三：30°的角直角三角形等于斜边的一边例1.3.1 如图，已知中，，，，则下列关系式正确的为（ ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】 该题考查的是特殊的直角三角形．，∴为等腰三角形，∴，在中，，∴故选B．例1.3.2 如图，，OP平分，于D，交OA于C.若，则__________， __________.【答案】【解析】 该题考查的是角平分线的性质定理和含30°直角三角形的性质．∵OP平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，过P作于点E，ODBPCAE∵，OP平分，∴，∵，∴在中，∴例1.3.3 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=____．【答案】 8cm【解析】 延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2cm，∴BN=4cm，∴BC=2BN=8cm．故答案为：8cm．题模四：等边三角形与全等三角形综合例1.4.1 已知：如图，等边三角形ABD与等边三角形ACE具有公共顶点A，连接CD，BE，交于点P．（1）观察度量，的度数为_______．（直接写出结果）（2）若绕点A将△ACE旋转，使得，请你画出变化后的图形．（示意图）（3）在（2）的条件下，求出的度数．【答案】 （1）120°（2）见解析（3）120°【解析】 本题考查等边三角形及全等三角形的性质与判定．（1）的度数为120°，理由为：证明：∵△ABD与△ACE都是等边三角形，∴，，，∴，即，在△DAC与△BAE中，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴，∵，∴，∴；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵△ABD与△ACE都是等边三角形，∴，，，∴，即，在△DAC与△BAE中，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴，∵，∴，∴例1.4.2 如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为____【答案】 6【解析】 延长到，连接，使，连接．为等边三角形，为等腰三角形，且，，，又，，，，，，在和中，，，，，．例1.4.3 如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】 见解析【解析】 （1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形，∴，，∵，∴AD⊥BC∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴△ABD≌△ACE．∴，且，∴△ADE是等边三角形；（2）在AC上取点F，使，连结DF，∵，∴△DCF是等边三角形，∵，∴，∵，∴，∴△ADF≌△EDC（AAS），∴，又∵，∴△ADE是等边三角形． 作业1 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长．【答案】 （1）30°（2）4【解析】 （1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．作业2 如图所示，、与都是等边三角形，和分别为和的中点，若时，则图形外围的周长是_____【答案】 15【解析】 、与都是等边三角形，，，和分别为和的中点，，，,∴图形外围的周长是．作业3 如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____．【答案】 2 【解析】 ∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；故答案为：2．作业4 如图所示，已知等边△ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，点D、E、F分别在。