2020-2021学年天津市某校等八校高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）)1. 已知集合A={x|log2x>0}，B={x|2x>1}，则（ ）A.A∩B={x|x>1} B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=⌀2. 已知向量a→=(x-1, 2)，b→=(2, 1)，则a→⊥b→的充要条件是（ ）A.x=-12 B.x＝-1 C.x＝5 D.x＝03. 在△ABC中，M是BC的中点．若AB→=a→，CA→=b→，则AM→=( )A.12(a→+b→) B.12(a→-b→) C.12a→+b→ D.a→+12b→4. 已知a=log35，b=3-0.2，c=31.2，则（ ）A.b0，y>0，若2yx+8xy>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A.m≥4或m≤-2 B.m≥2或m≤-4 C.-2-2的解集为( )A.(-∞, -1) B.(-1, +∞) C.(-∞, -2) D.(-2, +∞)8. 将函数f(x)=sinx的图象先向右平移π3个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(π2,3π2)上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A.(0, 1] B.(0, 29] C.(0, 29]∪[23, 89] D.(0, 29]∪[89, 1]9. 已知定义在R上的函数f(x)=lnx,x>1|x2-x|,x≤1 ，若函数k(x)＝f(x)-ax恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）A.(-∞,-1)∪{0}∪(1e,+∞) B.(-∞,-1)∪{0}∪(1e,1)C.(-1,-1e)∪{0}∪(1e,1) D.(-1,-1e)∪{0}∪(1e,+∞)二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分，双空题答对一个空得3分）)10. 设函数f(x)=21-x，x≤11-log2x，x>1，则f[f(4)]=________．11. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0, 0)处的切线方程为3x-y=0，则a=________．12. 底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为________．13. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2sinAcosB=sinC，则△ABC的形状为________．14. 已知a，b均为正实数，且a+b=1，则8a2+1ab的最小值为________，此时a的值为________．15. 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120∘，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则AE→⋅BE→的最小值为________．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）)16. 已知函数f(x)=a→⋅b→，其中a→=(2cosx, -3sin2x)，b→=(cosx, 1)，x∈R． （1）求函数y=f(x)的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f(A)=-1，a=7且向量m→=(3, sinB)与n→=(2, sinC)共线，求边长b和c的值．17. （文科）设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2(a2-a1)=b1 （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设{cn}=bnan，求数列{cn}的前n项和Tn．18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD // BC，AB⊥AD，AB＝AD=12BC＝2，PA＝4，E为棱BC上的点，且BE=14BC．(Ⅰ)求证：DE⊥平面PAC；(Ⅱ)求二面角A-PC-D的余弦值；(Ⅲ)设Q为棱CP上的点（不与C、P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，求CQCP的值．19. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=an+1+2n-8，n∈N*，a1=8，设bn=an-2．(Ⅰ)证明：{bn}是等比数列；(Ⅱ)设cn=(-1)nan(2n+1)(2n+1+1)，求{cn}的前n项和Tn，若对于任意n∈N*，λ≥Tn恒成立，求λ的取值范围．20. 已知函数f(x)=xlnx+ax+1，a∈R． （1）当时x>0，若关于x的不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；（2）当x∈(1, +∞)时，证明：e(x-1)ex=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=-255，∴ 二面角A-PC-D的余弦值为255．(Ⅲ)设CQCP=λ(0<λ<1)，即CQ→=λCP→=(-2λ, 4λ, 4λ)，∴ Q＝(2-2λ, 4-4λ, 4λ)，∴ QE→=(2λ, 4λ-3, -4λ)，∵ 直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，∴ |cos|=|QE→⋅m→||QE→|⋅|m→|=55，解得λ=23，∴ CQCP=23．19. （1）证明：Sn＝an+1+2n-8，n∈N*，a1＝8，当n=1时，a1=S1=a2-6，a2=14，当n≥2，n∈N*时，Sn=an+1+2n-8，Sn-1=an+2n-10，相减可得an+1=2an-2，即an+1-2=2(an-2)，即bn+1bn＝2(n≥2)，又b2b1＝a2-2a1-2＝2，可得{bn}是首项b1=6，公比为2的等比数列；（2）由（1）知an-2＝6⋅2n-1，即an＝3⋅2n+2，所以cn＝(-1)nan(2n+1)(2n+1+1)＝(-1)n3⋅2n+2(2n+1)(2n+1+1)=(-1)n[12n+1+12n+1+1]，Tn＝-(12+1+122+1)+(122+1+123+1)-(123+1+124+1)+…+(-1)n(12n+1+12n+1+1)，∴ Tn＝-13+(-1)n12n+1+1，当n为偶数时，Tn＝-13+(-1)n12n+1+1是递减的，此时当n=2时，Tn取最大值-29，则λ≥-29．当n为奇数时，Tn＝-13+(-1)n12n+1+1是递增的，此时Tn<-13，则λ≥-13．综上，λ的取值范围是λ≥-29．20. 由f(x)≥0，得xlnx+ax+1≥0(x>0)．整理，得-a≤lnx+1x恒成立，即-a≤(lnx+1x)min．令F(x)＝lnx+1x．则F(x)＝1x-1x2＝x-1x2．∴ 函数F(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增．∴ 函数F(x)＝lnx+1x的最小值为F=1．∴ -a≤1，即a≥-1．∴ a的取值范围是[-1, +∞)．证明：（1）由（2），当a=-1时，有xlnx≥x-1，即lnx≥x-1x．要证e(x-1)ex1，即证eex<1x，x>1．构造函数G(x)=ex-ex(x≥1)．则G(x)=ex-e．∵ 当x>1时，G(x)>0．∴ G(x)在[1, +∞)上单调递增．∴ G(x)>G(3)=0在(1, +∞)上成立，即ex>ex，证得eex<1x．∴ 当x∈(1, +∞)时，e(x-1)ex1时，H(x)。
