中考中的费马点详解加练习(二).pptx

学海无涯 皮耶 德 费马 PierredeFermat 是一个17世纪的法国律师 也是一位业余数学家 之所以称业余 是由于皮耶 德 费马具有律师的全职工作 他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为 费尔玛 注意 玛 字 费马最后定理在中国习惯称为费马大定理 西方数学界原名 最后 的意思是 其它猜想都证实了 这是最后一个 著名的数学史学家贝尔 E T Bell 在20世纪初所撰写的著作中 称皮耶 德 费马为 业余数学家之王 贝尔深信 费马比皮耶 德 费马同时代的大多数专业数学家更有成就 然而皮耶 德 费马并未在其他方面另有成就 本人也渐渐退出人们的视野 考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪 因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星 费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔 德 费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔 托里拆利 气压计的发明者 的信中提出的 托里拆利最早解决了这个问题 而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题 并系统地进行了推广 学海无涯 因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点 相关的问题也被称作费马 托里拆利 斯坦纳问题 这一问题的解决极大推动了联合数学的发展 在近代数学史上具有里程碑式的意义 费马点 是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点 若给定一个 ABC的话 从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A B C的距离之和比从其它点算起的都要小 这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个 若三角形3个内角均小于120 那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角 即该点所对三角形三边的张角相等 均为120 所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心 若三角形有一内角大于等于120 则此钝角的顶点就是距离和最小的点 学海无涯 在1的条件下画图找费马点 如图以任意两边为边向两边做等边三角形ABD和等年三角形ACE 则CD BE交点P即为所求2若在 120 的钝角三角形中 其顶点即是 另外 当刚好120 且三角形BCD为等边三角形时 有个结论 AD AB AC 我们拓展一道几何题 第二问对很多学生或者老师还是很酥爽的 学海无涯 2011房山一摸2009石景山25 本小题满分7分 已知 等边三角形ABC 如图1 P为等边 ABC外一点 且 BPC 120 试猜想线段BP PC AP之间的数量关系 并证明你的猜想 2 如图2 P为等边 ABC内一点 且 APD 120 求证 PA PD PC BD 我们回到正题 费马点 C A B P 图1 C A PB D 图2 学海无涯25 如图 在平面直角坐标系xOy中 点B的坐标为 0 2 点D在x轴的正半轴上 ODB 30 OE为 BOD的中线 过B E两点的抛物 线y ax2 3x c与x轴相交于A F两点 A在F的左侧 6求抛物线的解析式 等边 OMN的顶点M N段AE上 求AE及AM的长 点P为 ABO内的一个动点 设m PA PB PO 请直接写出m的最小值 以及m取得最小值时 线段AP的长 2013房山一摸24 1 如图1 ABC和 CDE都是等边三角形 且B C D三点共线 联结AD BE相交于点P 求证 BE AD 2 如图2 在 BCD中 BCD 120 分别以BC CD和BD为边在 BCD外部作等边三角形ABC 等边三角形CDE和等边三角 形BDF 联结AD BE和CF交于点P 下列结论中正确的是 只填序号即可 AD BE CF BEC ADC DPE EPC CPA 60 3 如图2 在 2 的条件下 求证 PB PC PD BE P图2 P图1 A B CB C 学海无涯29 阅读下面材料 小伟遇到这样一个问题 如图1 在 ABC 其中 BAC是一个 可以变化的角 中 AB 2 AC 4 以BC为边在BC的下方作等边 PBC 求AP的最大A值 A 2016一月昌平 图3 C 小伟是这样思考的 利用变换和等边三角形将边的位置重新组合 他的方法是以点B为旋转中心将 ABP逆时针旋转60 得到 A BC 连接A A 当点A落在A C上时 此题可解 如图2 请你回答 AP的最大值是 参考小伟同学思考问题的方法 解决下列问题 如图3 等腰Rt ABC 边AB 4 P为 ABC内部一点 请写出求AP BP CP的最小值长的解题思路 提示 要解决AP BP CP的最小值问题 可仿照题目给出的做法 把 ABP绕B点逆时针旋转60 得到 A BP 请画出旋转后的图形 请写出求AP BP CP的最小值的解题思路 结果可以不化简 A B P 学海无涯28 已知 点O是等边 ABC内的任一点 连接OA OB OC 如图1 已知 AOB 150 BOC 120 将 BOC绕点C按顺时针方向旋转60 得 ADC DAO的度数是 用等式表示线段OA OB OC之间的数量关系 并证明 设 AOB BOC 当 满足什么关系时 OA OB OC有最小值 请在图2中画出符合条件的图形 并说明理由 若等边 ABC的边长为1 直接写出OA OB OC的最小值 A B C D A B C O 图1图2 2017年一月昌平29 如图1 在 ABC中 ACB 90 点P为 ABC内一点 1 连接PB PC 将 BCP沿射线CA方向平移 得到 DAE 点B C P的对应点分别为点D A E 连接CE 依题意 请在图2中补全图形 如果BP CE BP 3 AB 6 求CE的长 图1 P C B A 图2 A B P C 图3 N M B A P C BC BC 学海无涯 2 如图3 连接PA PB PC 求PA PB PC的最小值 小慧的作法是 以点A为旋转中心 将 ABP顺时针旋转60 得到 AMN 那么就将PA PB PC的值转化为CP PM MN的值 连接CN 当点P落在CN上时 此题可解 请你参考小慧的思路 在图3中证明PA PB PC CP PM MN 并直接写出当AC BC 4时 PA PB PC的最小值 延伸一下2017年一月海淀28 在 ABC中 AB AC BAC 点P是 ABC内一点 且 PAC PCA 连接PB 试探究PA PB PC满足的等量关2系 AP APP 图1图2当 60 时 将 ABP绕点A逆时针旋转60 得到 ACP 连接PP 如图1所示 由 ABP ACP 可以证得 APP 是等边三角形 再由 PAC PCA 30 可得 APC的大小为度 进而得到 CPP 是直角三角形 这样可以得到PA PB PC满足的等量关系为 如图2 当 120 时 请参考 1 中的方法 探究PA PB PC满足的等量关系 并给出证明 PA PB PC满足的等量关系为 学海无涯2016年顺义一摸28 已知 在 ABC中 BAC 60 如图1 若AB AC 点P在 ABC内 且 APC 150 PA 3 PC 4 把 APC绕着点A顺时针旋转 使点C旋转到点B处 得到 ADB 连接DP 依题意补全图1 直接写出PB的长 如图2 若AB AC 点P在 ABC外 且PA 3 PB 5 PC 4 求 APC的度数 如图3 若AB 2AC 点P在 ABC内 且PA 3 PB 5 APC 120 请直接写出PC的长 C A B P C B A P B C A P 学海无涯 26 如图 四边形ABCD是正方形 ABE是等边三角形 M为对角线BD 不含B点 上任意一点 将BM绕点B逆时针旋转60 得到BN 连接EN AM CM 求证 AMB ENB 当M点在何处时 AM CM的值最小 当M点在何处时 AM BM CM的值最小 并说明理由 当AM BM CM的最小值为时 求正方形的边长 在矩形ABCD中 点P在矩形内 点Q在BC上 AD 5 AB 3 求AP DP PQ的最小值 。