2020-2021学年山西省太原市高二上学期期末数学试卷（文科）（解析版）.doc

绝密★启用前2020-2021学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共12小题）.1．命题“若x＝3，则|x|＝3”的否命题是（　　）A．若x＝3，则|x|≠3 B．若x＝﹣3，则|x|＝3 C．若x≠3，则|x|≠3 D．若|x|≠3，则x≠32．已知f（x）＝2x，则f（x）＝（　　）A．2x B．x•2x﹣1 C． D．2x•ln23．已知抛物线y2＝2px的焦点为F（1，0），则p＝（　　）A．4 B．2 C．1 D．4．已知命题“p∨q”为真命题，“￢p”为真命题，则（　　）A．p为假命题，q为真命题 B．p为真命题，q为真命题 C．p为真命题，q为假命题 D．p为假命题，q为假命题5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（　　）A．b＝3a B．a＝3b C． D．6．已知函数f（x）是区间（a，b）上的可导函数，且导函数为f（x），则“对任意的x∈（a，b），f（x）＞0”是“f（x）在（a，b）上为增函数”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为（　　）A． B． C．﹣e D．e8．已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0的否定是真命题，那么实数a的取值范围是（　　）A． B． C． D．9．已知函数f（x）的导函数为f（x），函数g（x）＝（x﹣1）f（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）A．f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，2）上为减函数 B．f（x）在（﹣2，1），（2，+∞）上为增函数 C．f（x）的极小值为f（﹣2），极大值为f（2） D．f（x）的极大值为f（﹣2），极小值为f（2）10．从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点F1，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点．若OP∥AB（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（　　）A． B． C． D．11．已知曲线E：x2+y2cosα＝1（α∈[0，π]），则下列描述正确的是（　　）①当时，曲线E表示双曲线，焦点在x轴上；②当时，曲线E表示以原点为圆心，半径为1的圆；③当时，曲线E围成图形的面积的最小值为π．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个．若将它重新制作成一个底面半径为r，高为h的圆柱（橡皮泥没有浪费），则该圆柱表面积的最小值为（　　）A．20π B．24π C．28π D．32π二、填空题（共4小题）.13．命题“存在实数x0，使得2大于3”用符号语言可表示为　 　．14．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为　 　．15．函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极值10，则a＝　 　．16．已知点A，B为抛物线C：y2＝4x上不同于原点O的两点，且OA⊥OB，则△OAB的面积的最小值为　 　．三、解答题（共3小题，共48分）17．（16分）已知命题p：0≤x≤1；q：a﹣1≤x≤2a（a＞0）．（1）若a＝1，写出命题“若p则q”的逆否命题，并判断真假；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（16分）已知函数．（1）求f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．19．（16分）已知圆O：x2+y2＝4，点P为圆O上的动点，DP⊥x轴，垂足为D，若，设点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线E交于A，B两点，，且△AFB的面积为2，求k的值．说明：请考生在20，21两个小题中任选一题作答.20．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx．（1）证明：f（x）存在唯一的零点；（2）当x＞0时，证明：ex＞x＞lnx．21．已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx．（1）当a＝1时，证明：f（x）存在唯一的零点；（2）若f（x）≥0，求实数a的取值范围．说明：请考生在22，23两个小题中任选一题作答.22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），斜率为1的直线l过抛物线C的焦点，与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝8．（1）求抛物线C的方程；（2）设点，过点P作直线PM，PN与抛物线C相切，切点分别为M，N，证明：PM⊥PN．23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），斜率为1的直线l过抛物线C的焦点，与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝8．（1）求抛物线C的方程；（2）设点P（a，b）（a＜0），过点P作直线PM，PN与抛物线C相切，切点分别为M，N，若PM⊥PN，求a的值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．命题“若x＝3，则|x|＝3”的否命题是（　　）A．若x＝3，则|x|≠3 B．若x＝﹣3，则|x|＝3 C．若x≠3，则|x|≠3 D．若|x|≠3，则x≠3解：同时否定条件和结论得到命题的否命题为：若x≠3，则|x|≠3，故选：C．2．已知f（x）＝2x，则f（x）＝（　　）A．2x B．x•2x﹣1 C． D．2x•ln2解：因为f（x）＝2x，则f（x）＝2x＝2x•ln2．故选：D．3．已知抛物线y2＝2px的焦点为F（1，0），则p＝（　　）A．4 B．2 C．1 D．解：抛物线y2＝2px的焦点为F（1，0），可得＝1．解得p＝2，故选：B．4．已知命题“p∨q”为真命题，“￢p”为真命题，则（　　）A．p为假命题，q为真命题 B．p为真命题，q为真命题 C．p为真命题，q为假命题 D．p为假命题，q为假命题解：因为命题“p∨q”为真命题，则p与q必有一个为真命题，因为“￢p”为真命题，所以p为假命题，故q为真命题．故选：A．5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（　　）A．b＝3a B．a＝3b C． D．解：双曲线的一条渐近线方程为，可得＝，所以a＝3b，故选：B．6．已知函数f（x）是区间（a，b）上的可导函数，且导函数为f（x），则“对任意的x∈（a，b），f（x）＞0”是“f（x）在（a，b）上为增函数”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：对任意的x∈（a，b），f（x）＞0，可以得到f（x）在（a，b）上为增函数，但f（x）在（a，b）上为增函数时，只要f（x）≥0即可，如f（x）＝x3在R上单调递增，但f′（0）＝0，所以“对任意的x∈（a，b），f（x）＞0”是“f（x）在（a，b）上为增函数”的充分不必要条件．故选：A．7．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为（　　）A． B． C．﹣e D．e解：曲线y＝ex的导数为y′＝ex，设切点为P（x0，ex0），则过P的切线方程为y﹣ex0＝ex0（x﹣x0）代入（0，0）点得x0＝1，∴P（1，e）∴k＝e故选：D．8．已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0的否定是真命题，那么实数a的取值范围是（　　）A． B． C． D．解：若命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0为真命题，①当a＝0时，则有2x+3＞0，不符合题意；②当a＜0时，开口向下，不符合题意；③当a＞0时，△＝22﹣4•a•3＜0，解得．综上可得，，故命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0的否定是真命题，实数a的取值范围是．故选：C．9．已知函数f（x）的导函数为f（x），函数g（x）＝（x﹣1）f（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）A．f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，2）上为减函数 B．f（x）在（﹣2，1），（2，+∞）上为增函数 C．f（x）的极小值为f（﹣2），极大值为f（2） D．f（x）的极大值为f（﹣2），极小值为f（2）解：当x∈（﹣∞，﹣2）时，x﹣1＜0，由图象可得g（x）＝（x﹣1）f（x）＜0，则f（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（﹣2，1）时，x﹣1＜0，由图象可得g（x）＝（x﹣1）f（x）＞0，则f（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（1，2）时，x﹣1＞0，由图象可得g（x）＝（x﹣1）f（x）＜0，则f（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（2，+∞）时，x﹣1＞0，由图象可得g（x）＝（x﹣1）f（x）＞0，则f（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）的极大值为f（﹣2），极小值为f（2），结合选项可知，只有选项D正确．故选：D．10．从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点F1，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点．若OP∥AB（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（　　）A． B． C． D．解：由已知可设点P的坐标为（﹣c，y），代入椭圆方程可得y＝，不妨设点P在x轴上方，则点P的坐标为（﹣c，），又由已知可得A（a，0），B（0，b），因为AB∥OP，所以kAB＝kOP，即﹣，解得b＝c，所以a＝c，则椭圆的离心率为e＝，故选：C．11．已知曲线E：x2+y2cosα＝1（α∈[0，π]），则下列描述正确的是（　　）①当时，曲线E表示双曲线，焦点在x轴上；②当时，曲线E表示以原点为圆心，半径为1的圆；③当时，曲线E围成图形的面积的最小值为π．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③解：曲线E：x2+y2cosα＝1（α∈[0，π]），①当时，曲线E化为：x2﹣y2|cosα|＝1表示双曲线，焦点在x轴上；所以①正确；②当时，曲线E化为x2＝1表示两条平行直线，不是以原点为圆心，半径为1的圆；所以②不正确；③当时，曲线E化为x2+y2|cosα|＝1，围成图形的面积为：π，它的最小值为π．所以③正确．故选：B．12．现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个．若将它重新制作成一个底面半径为r，高为h的圆柱（橡皮泥没有浪费），则该圆柱表面积的最小值为（　　）A．20π B．24π C．28π D．32π【分析】橡皮泥没有浪费，得到hr2＝16，从而该圆柱表面积S＝2πrh+2πr2＝2π（+r2）＝2π（），利用基本不等式的性质能求出该圆柱表面积的最小值．解：橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个，将它重新制作成一个底面半径为r，高为h的圆柱（橡皮泥没有浪费），则＝πr2h，解得hr2＝16，∴该圆柱表面积S＝2πrh+2πr2＝2π（+r2）＝2π（）≥2π＝24π．当且仅当＝r2，即r＝2，h＝4时，取等号．∴该圆柱表面积的最小值为24π．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13．命题“存在实数x0，使得2大于3”用符号语言可表示为　∃x0∈R，　．【分析】利用符号语言表示特称量词命题即可．解：命题“存在实数x0，使得2大于3”，用符号语言可表示为：∃x0∈R，2＞3．故答案为：∃x0∈R，2＞3．14．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为　　．【分析】求出椭圆的焦点，设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），由题意可得c＝2，运用a，b，c的关系和离心率公式，解方程可得a，b，进而得到双曲线的标准方程．解：椭圆的焦点为（﹣。