现代控制理论12章.ppt

现代控制理论,沈阳建筑大学交通与机械学院,二一一年三月,,,第2章 控制系统状态空间描述,,,第3章 状态方程的解,,,第4章 线性系统的能控性和能观测性,,,第6章 状态反馈和状态观测器,,,第7章 最优控制,,,第8章 状态估计,,,第1章 绪论,,,第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析,,,,第1章 绪论,1、控制理论的发展,（2）现代控制理论,（3）大系统理论和智能控制理论,（1）经典控制理论,,,,第1章 绪论,,自动控制理论发展简史,,,,第1章 绪论,,自动控制理论发展简史,1769年瓦特发明的蒸汽机飞球调速器,,,,,第2章 控制系统状态空间描述,输入输出模式 状态变量模式 黑箱子 动力学特性,2.1 基本概念,2.1.1 几个定义：,(1) 状态：,系统过去、现在和将来的状况,(2) 状态变量：,能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：,,表示系统在 时刻的状态,若初值 给定， 时的 给定， 则状态变量完全确定系统在 时的行为（在系统能控的条件下）5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程（组）：,(6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式：,(7) 状态空间表达式： (5)+(6).,(3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 作为分量的向量，即,(4) 状态空间：以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间,(1) 独立性：状态变量之间线性独立,(2) 多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种 方案,(3) 等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异线性变换,状态变量的特点：,(4) 现实性：状态变量通常取为含义明确的物理量,(5) 抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义,(1) 线性系统,2.1.2 状态空间表达式的一般形式：,,其中，A 为系统矩阵，B 为控制矩阵，C 为输出矩阵，D 为直接传递矩阵。

2) 非线性系统,,或,2.2 状态空间表达式的建立,例2.2.0 系统如图所示,2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：,整理使其变为一阶微分方程组：,状态方程,输出方程,状态变量选择,写成矩阵形式,,,,,,,,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,,,,选择状态变量,系统输出方程为：,写成矩阵形式的状态空间表达式为：,,,,,,,,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式：,,化为能控标准型,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式（实现）：,的情形,取状态变量,即,则有：,写成矩阵形式：,其中：,能控标准型,例 考虑系统,,试写出其能控标准型状态空间表达式解：选择状态变量：,则状态空间表达式为：,b)化为能观测标准型,化为能观测标准型,取状态变量：,整理得：,则得能观标准型状态空间表达式,例 考虑系统,,试写出其能观标准型状态空间表达式解：做拉氏变化,,,解：选择状态变量：,则状态空间表达式为：,的情形,方法A）计算公式,,定义状态变量,,定义状态变量,写成矩阵形式的状态空间表达式,例考虑系统,,试写出其状态空间表达式解：,则状态空间表达式为：,此方法不好需要记忆公式,方法B）能观标准型 考虑系统,,试写出其状态空间能观标准型表达式。

解：,两边拉氏变换：,,,解：,定义状态变量：,方法C）由传递函数求状态空间表达式：,(1) 直接分解法,系统传递函数：,输出为：,,令：,选取状态：,,,,则系统的状态空间表达式为：,例 考虑系统,,试写出其状态空间表达式解：,则状态空间表达式为：,(2) 并联分解法,当系统极点两两相异时有下述分解,其中：,选取状态：,反拉氏变换有：,系统的矩阵式表达：,例 考虑系统,,试写出其状态空间表达式（对角线型）解：,则状态空间表达式为：,2.3 传递函数,SISO单入单出系统,,取拉氏变换得：,A的特征值即为系统的极点例 考虑系统,,试写出其传递函数解：,2.4 (非奇异)线性变换,2.4.1 状态向量的线性变换:,考虑系统：,取线性非奇异变换：,， 矩阵P非奇异,整理得：,其中：,例2.4.1 考虑系统,,取变换：,,状态空间表达式变为：,2.4.2 对角标准型,定义：令A为n阶矩阵若 和n维向量 满足 ，则 称 为矩阵A的特征根，而 为对应的特征向量定理：对于系统 ，若矩阵A具有n个两两相异的 特征根 ，则存性非奇异变换 将系统化为对角标准型,证明：设 为特征根 所对应 的特征向量。

即,充要条件：n 阶系统矩阵 A 有n 个线性无关的特征向量化对角标准型的方法1：,Step 1 求取系统矩阵A的n个特征根 和对应的特征向量,Step 2 令,Step 3 做变换,解：1) 求系统特征根.,例2.4.2 将下系统化为对角标准型,2) 求特征矢量,,对,由,可得,,对,由,可得,,对,由,可得,构成状态转移矩阵,3) 新的状态方程为：,范德蒙矩阵,化对角标准型的方法1：,当系统系数矩阵 为能控标准型,简证：设n=3,化对角标准型的方法2：,解：1) 求系统特征根.,例2.4.2 将下系统化为对角标准型,范德蒙 矩阵,2.4.4 特征值及传递函数矩阵的不变性,经变换,特征值（特征多项式、特征方程）,传递函数矩阵,系统输入量为0时的状态方程，如下式所示：,看看标量微分方程的解设标量微分方程为,,,标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征 ，可仿照微分方程求解的形式求状态方程的解 n阶线性定常齐次状态方程的解为：,n阶线性定常齐次状态方程 的解为,齐次状态方程解的物理意义是 将系统从初始时刻 的初始状态 转移到 时刻的状态 故 又称为 定常系统的状态转移矩阵。

这里最好把它看成级数的代号,由于系统无输入量，系统的运动x(t)是由系统的初始状态x(t0)来激励的，因此运动可称为自由运动，而运行的轨线是由 决定的， 包含了系统自由运动形态的全部信息，完全表征了系统自由运动的动态特征例：齐次状态方程的解解：由定义可得：,二、状态转移矩阵的基本性质,例：已知某系统的转移矩阵 ， 求A解：由性质1及性质4，可得：,三、状态转移矩阵的求解,1、定义法:,2、应用拉普拉斯变换法计算 ：,解：对于该系统,其状态转移矩阵,显然对A的n个特征值 ，有,移项,上式表明， 的线性组合显然有：,因此：,3、应用凯莱-哈密顿定理计算 ： 哈密顿定理：nxn矩阵A满足自身的特征方程，即:,1)特征值互异时,当i=1,2n时，则有下式：,,解：计算特征值：,2)A的特征值均相同时，设A的特征值为 ，则ai(t)的计算公式如下：,4、应用线性变换计算 ： 1)经线性变换后为对角形矩阵( n个独立的特征向量)设n阶非齐次方程 ：,例 求下列系统的时间响应： 式中，u(t)为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)解 对该系统,状态转移矩阵 已在前例中求得，即,如果初始状态为零，即X(0)=0,可将X(t)简化为,如果系统的输出方程为：,二、基本性质:,三、状态转移矩阵的计算:,例：线性时变系统齐次状态方程为：,四、线性非时变非齐次状态方程的解:,。