2018年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标23解三角形应用举例理.doc

2018年高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时达标23 解三角形应用举例 理[解密考纲]本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，判断三角形的形状，求三角形的面积等．三种题型均有呈现，一般排在选择题、填空题的中间位置或解答题靠前的位置，题目难度较易或中等．一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　B　)A．北偏东10°　　　　 B．北偏西10°C．南偏东10°　　　　 D．南偏西10°解析：依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方．2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　C　)A．1千米 B．2sin 10° 千米 C．2cos 10° 千米 D．cos 20°千米解析：由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos 20°＝4cos210°，∴BD＝2cos 10°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　A　)A．10 海里　　B．10 海里 C．20 海里　 D．20 海里解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)，故选A．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度是(　D　)A．100 m　　　　B．400 m C．200 m　　　　D．500 m解析：由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．5．长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C 1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α＝(　A　)A．　　　　B．　　　　 C．　　　　 D．解析：由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝，所以sin α＝，所以tan α＝＝.6．(2017·四川成都模拟)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(　A　)A．(30＋30) m　　　　 B．(30＋15) mC．(15＋30) m　　　　 D．(15＋15) m解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，由正弦定理，得＝，所以PB＝＝30(＋)，所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.二、填空题7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile，此船的航速是32 n mile/h.解析：设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8 n mile，∠BSA＝45°，由正弦定理，得＝，∴v＝32 n mile/h.8．某人在地上画了一个角∠BDA＝60°，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为16米．解析：如图，设DN＝x米，则142＝102＋x2－2×10×xcos 60°，∴x2－10x－96＝0.∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16或x＝－6(舍去)．∴N与D之间的距离为16米．9．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°.从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝150 m.解析：在△ABC中，AC＝100，在△MAC中，＝，解得MA＝100，在△MNA中，＝sin60°＝，故MN＝150，即山高MN为150 m.三、解答题10．已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇，岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ 解析：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．11．某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D．(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用低？请说明理由．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝162＋102－2×16×10cos C，①在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D，整理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos D＝142＋142－2×142cos C．②由①②得，142＋142－2×142cos C＝162＋102－2×16×10×cos C，整理得cos C＝.∵∠C为三角形的内角，∴∠C＝60°.又∠C＝∠D，AD＝BD，∴∠ABD是等边三角形，故AB＝14，即A，B两点的距离为14.(2)小李的设计使建造费用低．理由如下：S△ABD＝AD·BDsin D，S△ABC＝AC·BCsin C．∵AD·BD>AC·BC，且sin D＝sin C，∴S△ABD>S△ABC．又已知建造费用与用地面积成正比，故选择小李的设计使建造费用低．12．(2017·广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1(百米)．(1)求△CDE的面积；(2)求A，B之间的距离．解析：(1)连接DE，在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝150°，S△ECD＝DC·CE·sin 150°＝×sin 30°＝×＝(平方百米)．(2)依题意知，在Rt△ACD中，AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan 60°＝.在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理得＝，得BC＝·sin∠CEB＝×sin 45°＝.因为cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝.连接AB，在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB可得AB2＝()2＋()2－2××＝2－，所以AB＝(百米)．。