第二章极限习题及答案：数列极限.doc

函数、数列以及极限的综合题例 已知函数 的图象是自原点出发的一条折线．当)(xfy时，该图象是斜率为 的线段（其中正常数 ） ，设数列),210(ny nb1b由 定义． 求：}{nx)f（1）求 和 的表达式；21x、 n（2）求 的表达式，并写出其定义域；)(f（3）证明： 的图像与 的图象没有横坐标大于 1 的交点．xfyxy分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．（1）由斜率分式求出 ，同样由斜率公式求出关于 的递推式，然后求出 ，21x、 nxnx（2）由点斜式求出 段的 的表达式，用极限的方法求出定义域． （3）],[n)(f与 没有交点，只要 时 ，或 时 恒成立，当)(xfybxf10bxf)(，由于 ，只要证1bnxfxf)( .)(n解：（1）依题意 ，又由 ，当 时，函数 的图象01fy)(xfy是斜率为 的线段，故由 得0b)(1xf .1x又由 ，当 时，函数 的图象是斜率为 的线段，故由2)(xf2y)(fyb，即 得b12 bx12.12记 由函数 的图象中第 段线段的斜率为 ，故得.0x)(fyn1nb11)()nnbff又 ;)(,)(xff∴ ,2,11bxnn由此知数列 为等比数列，其首项为 1，公比为}{1nx .b因 ，得 1bnkn11)( ,1)(1bnn即 .)(bxnn（2）当 时，从（1）可知 ，即当 时，0yxy10x,)(xf当 时，即当 时，由（1）可知nnx).,32,)()( bnxf为求函数 的定义域，须对 进行讨论．)(f ),1(nbxn当 时，1b;1)(limlixnn时， ， 也趋向于无穷大．0综上，当 时， 的定义域为)(xfy);1,0[b当 时， 的定义域为1b.（3）证法 1 首先证明当 时，恒有 成立．1,xbxf)(对任意的 ，存在 使 ，此时有),(xn1n),()( xfn.)(nx又 ,11)( nn xbf ,0x,)()(nff即有 成立．x其次，当 ，仿上述证明，可知当 时，恒有 成立．1b1xxf)(故函数 的图象与 的图象没有横会标大于 1 的交点．)(xfy证法 2 首先证明当 时，恒有 成立．1,bxxf)(用数学归纳法证明：（ⅰ）由（1）知当 时，在 上， 所以n],(2 ),1()(bfy成立．0)1()(bxf（ⅱ）假设 时在 上恒有 成立．k],1kxxf)(可得 )(1kxf在 上，],2 ),()(11kkxbxf所以 kxf kk)( 11也成立．0)()11kk xb由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数 在 上都即 时，恒有n],(1nx1bx.)(xf其次，当 ，仿上述证明，可知当 时，恒有 成立．1bxxf)(说明： 本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学知识、思想方法解决问题的能力．解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像能力，本题的（2）用求极限的方法求定义域，反映了高考命题“不拘泥于大纲”的原则，不过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为 0.02，三人平均不足1 分，创了近年高考得分低的记录．命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置．本题得分低一方面是试题“超前” ，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是“大运用量”的模仿训练，创新精神提倡不够，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法．以后坚持考不等式证明题的方向不会改变，试题难度会适度降低．判断数列极限命题的真假例 判断下列命题的真假：（1）数列 的极限是 0 和 1． ,2)1(,0,n（2）数列 的极限是 0． ,21)(,21,,3n（3）数列 的极限不存在． siinsi（4）数列 的极限是 0．1023,,分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化趋势．解：（1）一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命题．（2）随着 n 无限增大，数列 的项无限趋近于 0，因此它的极限是 0，12)(n是真命题．（3）随着 n 无限增大，数列 的项无限趋近于 0，因此数列 无限趋近于nn1si0，是假命题．（4）有穷数列无极限，是假命题．说明：（3）中容易认为极限不存在．（4）容易错误认为是真命题，尽管数列 随着 n 的增大而逐渐趋近于 0，但由13n于数列只有 10001 项，是有穷数列，不存在极限．根据数列的极限确定参数的范围例 若 ，则 a 的取值范围是（ ）021limnnaA． B． 或 C． D． 或313131a分析：由 （a 为常数） ，知 ，所以由已知可得 ，解这个不等0lina2式就可求得 a 的取值范围．解：由 ，得 ，21limnn 12a所以 ，a两边平方，得： ，24)1(，0)1(3,0123aa所以 或 ．答案 B说明：解题过程容易误认为只有 ，得 ，错选 A．解决含有涉及到求字021a1母取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题．分析数列求极限例 已知数列 1.9，1.99，1.999，…， ，…．个n9.1（1）写出它的通项 ；na（2）计算 ；|2|n（3）第几项以后所有的项与 2 的差的绝对值小于 0.01？（4）第几项以后所有的项与 2 的差的绝对值小于 0.001？（5）指出这个数列的极限．分析：观察数列的特点，可以通过特殊数归纳总结规律，简化数列通项的一般形式，再求极限．解：（1）可将数列改写为（2-0.1） ， （2-0.01） ， （2-0.001） ，…， （ ） ，…10.2个n于是此数列的通项 ．nna102（2） ．n|)(||（3）令 即 ，解得.||.n2n故这个数列的第 2 项以后的所有项与 2 的差的绝对值均小于 0.01．（4）令 即 ，解得01.||na01.n3故这个数列的第 3 项以后的所有项与 2 的差的绝对值均小于 0.001．（5） 2)(limnn说明：可以通过特殊数帮助理解无限接近的意义，从而帮助求解极限．求数列奇数项和的极限例 数列 的前 n 项和记为 ，已知 ，求anS)N(35nSan的值．)(lim1231nna分析：为求 当 的极限，应先求出 的表达式．从已知条件123n na中给出 与 的关系式，可以利用 ，设法求出 的表达式．naS )2(1naSn解：由 及 ，可得 ．1351a4又 时， ，则2nn 35;1nnS两式相减，得 11,a于是，数列 是以 为首项，公比为 的无穷等比数列．na434进而可得，数列 是以 为首项，公比为,,,12531 n31的无穷等比数列，于是可求出极限．6412q .541263)(lim1231 nna说明：这同 1999 年全国高考文史类试题．对于这类求极限的题目，必须先用数列的性质求出 的通项公式，或确定数列的特征再求极限．由于所求数列是一个公式 的无na 1q穷等比数列，所以在解题时，可以不必再求极限，而直接代入无穷等比数列求和的公式．)1(qS等比数列和的极限已知数列 满足条件： ， （ ） ，且 是公比为 q （}{na1ar20}{1na）的等比数列．设 （ ） ，求 与 ，其中0qnnb21,nbnSlim．nnbS21解：因为 ，qann21所以 ．0212121  qaabnnnn，所以 是首项为 1+r ，公比为 q 的等比数列，从而01r}{b．1)(nnq当 时， ， ；)(rSn0)1(limlirnSn当 时， ， ；10n1) rqnnn 1)(lili当 时， ， ．rSnn)( 0)1(lilinnqrS所以 101limqrn　 　 　 　 　　 　 　 　反思升华：已知数列 满足条件： ， （ ） ， ，对任意 ，}{na1ar20Nn有 ．设 ， ，求 ．rn1 nnb3123 nbbS21 nSlim。