数学分析全套配套课件第4版上下册华东师范大学数学系1-2.ppt

一、有界集,二、确界,三、确界的存在性定理,四、非正常确界,确界原理本质上体现了实数的完备性，是本节学习的重点与难点.,数学分析 第一章 实数集与函数,*点击以上标题可直接前往对应内容,记号与术语,；,；,；,；,；,；,；,后退 前进 目录 退出,有界集,,有界集,有界集,即,即,即,例1,例2,证,有界集,故 S 有下界.,因此 S 无上界.,确界,,若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中,最小的一个具有重要的作用.,确界.,确界.,最小的上界称为上,同样，若S 有下界，则最大的下界称为下,确界,,注2,确界,注4,注3 条件(i) 说明 是 的一个上界,,比 小的数都不是 的上界,从而 是最小的上界,界,,条件(ii)说明,即上确界是最小的上界.,确界,证 先证 sup S=1.,例3,确界,以下确界原理作为公理,不予证明.,虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的,存在性,,不一定有最小值, 例如 (0, ) 无最小值.,这是由于上界集是无限集, 而无限数集,确界,确界存在性定理,确界的存在性定理,例4,证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界，,由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意,界, B 有下确界.,yB; sup A y.,而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A inf B.,一数 x 都是 B 的下界.,因此由确界原理, A 有上确,确界的存在性定理,这样, sup A 又是 B 的一个下界,,例5,于是,且,因此,确界的存在性定理,其中,必有,于是,因此,这就证明了,确界的存在性定理,非正常确界,2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界.,例2 设数集,求证:,例1,非正常确界,证 设,于是,因此,反之,若,求证:,非正常确界,2.,1. 数集 S 有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否,3. 在上确界的定义中，,能否改为,或改为,。