数学分析全套配套课件第4版上下册华东师范大学数学系10-4.ppt

定积分的所有应用问题,都可按 “分割、近似、求极限” 三个步骤导出所求量的积分形式, 但在实际应用中又常用“微元法”来处理. 本节将介绍微元法,并用以导出旋转曲面面积的计算公式.,数学分析 第十章 定积分的应用,一、微元法,二、旋转曲面的面积,*点击以上标题可直接前往对应内容,, 且,微元法,现在恰好要把问题倒过来: 若所求量 是分布在区,或者说它是该区间的端点,x 的函数, 即,则,后退 前进 目录 退出,微元法,当 时,,微小增量 近似表示为 的线性形式,在任意小区间 上,,若能把 的,其中 f 为某一连续函数,,求的结果.,微元法,以上方法通常称为微元法, 在用微元法时, 应注意:,在一般情况下, 要严格检验,(2) 微元法的关键是正确给出 的近似表达式,为 的高阶无穷小量不是一件容易的事.,(1) 所求量 关于分布区间必须是可加的.,微元法,这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面(如下图).,设平面光滑曲线 C 的方程为,旋转曲面的面积,通过 x 轴上点 x 与 分别作垂直于 x 轴的平,旋转曲面的面积,面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带.,其中,由于,旋转曲面的面积,即,因此由 的连续性可以保证,所以得到,旋转曲面的面积,给出, 且,则曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转,曲面的面积为,如果光滑曲线由参数方程,椭球面的面积.,解 将上半椭圆写成参数方程,旋转曲面的面积,令,旋转曲面的面积,,面的面积.,当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得,,解 将曲线用参数方程表示:,请读者自行指出这应该怎么做？,旋转曲面的面积,于是,旋转曲面的面积,,,,例3 计算圆,x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .,解: 对曲线弧,应用公式得,当球台高 h  2 R 时, 得球的表面积公式,,旋转曲面的面积,例4 求由星形线,一周所得的旋转体的表面积 S .,解 利用对称性,绕 x 轴旋转,,旋转曲面的面积,,。