北京四中高中数学高考综合复习专题二十六立体几何-平行与垂直.docx

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 高中数学高考综合复习专题二十六　 立体几何——平行与垂直　　 　　 　　二、高考考点　　1、空间直线，空间直线与平面，空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中，线面垂直是历年高考试题涉及的内容.　　2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用；求角；求距离等.其中，三垂线定理及其逆定理的应用尤为重要.　　3、解答题循着先证明后计算的原则，融推理于计算之中，主要考察学生综合运用知识的能力，其中，突出考察模型法等数学方法，注重考察转化与化归思想；立体问题平面化；几何问题代数化.　　三、知识要点　　（一）空间直线　　1、空间两条直线的位置关系　　（1）相交直线——有且仅有一个公共点；　　（2）平行直线——在同一个平面内，没有公共点；　　（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.　　2、平行直线　　（1）公理4（平行直线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.　　符号表示：设a,b,c为直线， 　　（2）空间等角定理　　如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.　　推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等.　　3、异面直线　　（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.　　（2）有关概念：　　（ⅰ）设直线a,b为异面直线，经过空间任意一点O作直线ａ＇，ｂ＇，并使ａ＇//a，ｂ＇//b,则把ａ＇和ｂ＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.　　特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直.　　认知：设 为异面直线a，b所成的角，则 .　　（ⅱ）和两条异面直线都垂直相交的直线（存在且唯一），叫做两条异面直线的公垂线.　　（ⅲ）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.　　（二）空间直线与平面　　直线与平面的位置关系：　　（1）直线在平面内——直线与平面有无数个公共点；　　（2）直线和平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点；　　（3）直线和平面平行——直线与平面没有公共点.　　其中，直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.　　1、直线与平面平行　　（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据.　　（2）判定　　判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.　　认知：应用此定理证题的三个环节：指出 .　　（3）性质　　性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.　　2、直线与平面垂直　　（1）定义：如果直线l和平面 内的任何一条直线都垂直，则说直线l和平面 互相垂直，记作l⊥ .　　（2）判定：　　判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.　　判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.　　符号表示： .　　（3）性质　　性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.　　符号表示： 　　（4）概念　　（ⅰ）点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.　　（ⅱ）直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.　　（三）空间两个平面　　1、两个平面的位置关系　　（1）定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.　　（2）两个平面的位置关系　　（ⅰ）两个平面平行——没有公共点；　　（ⅱ）两个平面相交——有一条公共直线.　　2、两个平面平行　　（1）判定　　判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.　　判定定理2：（线面垂直性质定理）：垂直于同一条直线的两个平面平行.　　（2）性质　　性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.　　性质定理2（定义的推论）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.　　3、有关概念　　（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.　　（2）两个平行平面的公垂线段都相等.　　（3）公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.　　4、认知：　　两平面平行的判定定理的特征：线面平行 面面平行，或线线平行 面面平行；　　两平面平行的性质定理的特征：面面平行 线面平行，或面面平行 线线平行.　　它们恰是平行范畴中同一事物的相互依存和相互贯通的正反两个方面.　　四、经典例题　　例1、在正方体 中，E、F、G、H分别为棱BC、 、 、 的中点，求证：　　（1） ；　　　　　　 　　（2） 　　分析：直面线面平行或面面平行的证明，一般是运用相应的判定定理.为此，需要在有关平面内寻找相关直线的平行线.寻找平行线的平面几何方法主要有：　　（ⅰ）构造平行四边形；　　（ⅱ）构造三角形中位线或三角形中的成比例线段；　　（ⅲ）构造梯形　　注意到已知某些棱的中点，想到找取相关线段的中点，配合原来线段的中点构造上述平面图形.　　对于（1）适合条件的三角形难以构造，故首选构造平行四边形；　　对于（2），则由不同图形的构造引出不同的证法.　　证明：　　（1）连接 ，并设 ，则 分别为两底面的中心.　　取OB中点为M， 　　则由EM为△BOC的中位线得 　　　　　　　　　　　　　　 ①　　 　　　　　　　　　　②　　注意到 为正方形　　∴ 　　∴四边形 为矩形　　∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③　　∴由①②③得 　　∴四边形 为平行四边形　　∴ 　　又 　　∴ 　　（2）证明（构造平行四边形）：取 中点为N，连接 ，　　则由 为平行四边形，　　∴ 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　④　　又连结 知　　四边形 为平行四边形　　∴ 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　⑤　　∴由④⑤得 　　注意到 　　∴ 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　⑥　　同理可得 　　　　 　　　　　　　　　　　　　⑦　　于是由⑥⑦得 。

　　例2、已知平面 　　分析：已知直线与平面平行，必然要利用线面平行的性质或定义，一般是利用线面平行性质定理.为此，已知直线 ，需要经过直线n作平面 ，进而推出n//a.本题证明由此展开.　　证明：　　在平面 　　 　　 　　 （线面平行性质定理）　　　　　　　　　　　　　 ①　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　　 　　∴ （线面平行判定定理）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　又 平面 　　 （线面平行性质定理）　　　　　　　　　　　　　　　　 ③　　于是由①③得n//m（公理4）　　点评：立体几何的作图，必须是出手有理有据，已知直线 ，除极个别情形外，一般要利用线面平行性质定理，因此，需要经过直线a作平面 进而推出a//b，切不可直接在 内作b//a，为大家提供“零分证法”的反例.　　例3、在正三棱柱 中，E是AC中点，　　（1）求证： ；　　（2）求证： ；　　（3）若 .　　分析：注意到正三棱柱的特性　　（1）利用上述特性构造三角形，构造平行四边形或构造面面平行，不同的构造产生出不同的证法；　　（2）注意到正三棱柱的侧面与底面垂直，又这里BE⊥AC，问题易证.　　（3）注意到 ， 的垂线易作，故考虑运用三垂线定理构造二面角的平面角.　　解：　　（1）证法一（构造三角形中位线）：　　连结B1C，设 的对角线交点.　　又连结EM，则EM为 的中位线，　　 　　又 　　 .　　证法二（构造平行四边形）：　　在平面 内延长 并与 的延长线交于点G，连结BG，则GA＝ 　　∴ 　　∴四边形GAB1B为平行四边形　　∴AB1//GB　　又 　　∴ 　　证法三（构造平行平面）取A1C1中点为E1，连结B1E1，，AE1.　　∵四边形 为矩形　　∴ 　　∴ 为平行四边形　　∴EC1//AE1　　∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　　∵△ABC为正三角形，E为AC中点，　　∴BE⊥AC　　又正三棱柱底面ABC⊥侧面 　　∴BE⊥平面 　　同理要证， 　　∴ 　　∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　　于是由①②得， 　　　　　　　　　　　　　　　　 　③　　注意到 　　∴ 　　（2）从略.　　（3）在平面 内作 　　∵ 　　 ∴ 　　∴FN是CN在 上的射影，　　∴ （三垂线定理）　　∴ 　　 　　 　　 　　∴ 　　∴ 　　点评：对于（1），三种证法各有千秋.证法一中连结CB1，设出 后，△ACB1的中位线便呼之欲出了；证法二注意到C1E的延长线必与A1A的延长线相交，大胆“出格”，用正三棱柱之外的线段GB沟通AB1与平面BEC1的联系；证法三则审时度势，主动“升格”，先证相关的两平面平行，而后利用面面平行定义的推论推出 .这里的三种证法为证明线面平行的主要策略.　　例4、已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.　　（1）求证：AF⊥SC；　　（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.　　分析：　　（1）注意到AF与SC在同一个平面内，证明AF⊥SC首选三垂线定理逆定理.为此，从已知的线面垂直切入，从寻找它们所在平面SAC的垂线突破.　　（2）仿（1），从寻找平面SAD的垂线切入或突破.　　证明：　　（1）　　∵四边形ABCD为矩形　　∴BC⊥AB　　∵SA⊥平面ABCD，AB为SB在平面AC上的射影　　∴BC⊥SB　　∴BC⊥平面SAB　　∴BC⊥AE　　即AE⊥BC　　又AE⊥SB　　∴AE⊥平面SBC　　∴EF是AF在平面SBC上的射影　　∴由SC⊥EF得SC⊥AF，即AF⊥SC　　（2）由（1）知SC⊥平面AEF，又AG 平面AEF　　∴SC⊥AG，即AG⊥SC　　　　　　　　　　 ①　　由题设得CD⊥AD，CD⊥SA　　∴CD⊥平面SAD　　∴CD⊥AG，即AG⊥CD　　　　　　　　　　 ②　　于是由①②得AG⊥平面SCD　　∴AG⊥SD　　点评：立体几何中垂直问题的证明，通常是从线线垂直切入，向线面垂直或面面垂直延伸.　　（1）的证明两用三垂线定理或其逆定理，　　（2）的证明则运用了线面垂直的定义与判定定理，它们共同展示了证明垂直问题的基本策略.。