中考数学二轮培优专题18 矩形折叠问题（解析版）.doc

专题18 矩形折叠问题模型的概述：已知矩形的长与宽，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性质，求各线段边长解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解问题：根据已知信息，求翻折后各边长模型一： 思路： 模型二： 思路： 模型三： 思路： 尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解模型四： 思路：模型五： 思路：模型六：点M,点N分别为DC，AB中点 思路： 模型七：点A’为BC中点 思路： 过点F作FH⊥AE，垂足为点H设AE=A’E=x，则BE=8-x由勾股定理解得x= ∴BE=由于△EBA’∽△A’CG∽△FD’G∴A’G= CG= GD’=DF=D’F=AH=HE=1 EF=【培优过关练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在正方形中，，点、分别在边、上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解．【详解】解：在正方形中，，，，，，，，，又，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了翻折及正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．2．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，点E在边上，沿着折叠使点A落在边上的点F处，若，，则的长为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】先根据折叠的性质和正切的定义得出，再证明，最后利用相似三角形的性质得出结论．【详解】解：由折叠可知，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，涉及三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是证明．3．（2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线折叠，使点B落在D点的位置，且交y轴交于点E，则点D的坐标是（   ）A．（） B．（，2） C．（） D．【答案】D【分析】过D作于F，根据折叠可以证明，然后利用全等三角形的性质得到，设，那么，利用勾股定理即可求出m，然后利用已知条件可以证明，而，接着利用相似三角形的性质即可求出、的长度，也就求出了点D的坐标．【详解】如图，过D作于F，∵点B的坐标为，∴，根据折叠可知，而∴，∴，设，那么，在中，，∴，  解得，∵，∴，∴而，∴，∴，即，∴，∴，∴D的坐标为，故选：D．【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．4．（2023春·广东广州·九年级专题练习）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使落在对角线上，折痕为，点的对应点为，那么的长为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先设，由矩形纸片中，，，可求得的长，又由折叠的性质，可求得的长，然后由勾股定理可得方程：，解此方程即可解决问题．【详解】解：设，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，由折叠的性质可得：，，，∴，，，∵在中，，∴，解得：，∴．故选：C．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．5．（2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点恰落在边上的点F处；点在上，将沿折叠，点恰落段上的点处，有下列结论：①；②；③四边形的面积等于；④．其中正确的结论有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用折叠性质得，，，，，则可得到，于是可对①进行判断；在中利用勾股定理计算出，则，设，利用勾股定理得到，得到，于是可对④进行判断；接着证明，于是可对②进行判断；根据可对③进行判断．【详解】解：∵沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落段上的点处，∴，，，，，，∴，所以①正确；在中， ，∴，设，则，在中，∵，∴，解得，∴，∴，所以④正确；在中，，设，则∴解得∴∵，，∴．所以③不正确．∵，∴∴故②正确故选：C．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．6．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接，交于H，∵，点E为的中点，∴，又∵，∴，由折叠知，（对应点的连线必垂直于对称轴），∴，则，∵，∴，，∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在矩形纸片中，，，M是上的点，且，将矩形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在上的点P处，点C落在点处，折痕为，当与线段交于点H时，则线段的长是（   ）A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】连接，证明即可得到，证明，得出，然后列出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：连接，如图所示：∵矩形纸片中，，，∴，，∵，∴，根据折叠可知，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，设，则，∵，∴，解得：，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件，证明三角形全等，学会利用翻折不变性解决问题．8．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期中）如图，边长为2的正方形的对角线与交于点O，将正方形沿直线折叠，点C落在对角线上的点E处，折痕交于点M，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意先求，再求，进而根据的线段比例关系，即可求出的长．【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形，∴，，∴，由折叠的性质可知，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，即，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查图形的翻折，熟练掌握图形翻折的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．9．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，∴BC=EC，在△BFC与△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=AD-DE=，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．10．（2022·贵州毕节·统考中考真题）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（    ）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据计算即可．【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将沿折叠得到∴与关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=∴∵∴∴∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=∴故选 D【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．11．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根据折叠可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，设，则，在中，，即，解得：，则，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．12．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（  ）A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC【答案】D【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得，进而判断B，根据折叠的性质可得，进而判断C选项，根据勾股定理求得的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项【详解】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，故A选项正确，将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，，,故B选项正确，,∴EG∥HF，故C正确设，则，，即，同理可得若则，，不平行，即不垂直，故D不正确．故选D【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．13．（2022·江苏。