模块素养评价(二)(120分钟 150分)一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过圆＋＝2的圆心C，且与直线2x＋y＝0垂直的直线方程是( )A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0【解析】选C.设与直线2x＋y＝0垂直的直线方程是x－2y＋c＝0，把圆2＋2＝2的圆心C(1，－1)代入可得1＋2＋c＝0，所以c＝－3，故所求的直线方程为x－2y－3＝0.2．(2021·宁波高二检测)设Sn为等比数列的前n项和，已知3S3＝a4－3，3S2＝a3－3，则公比q＝( )A．3 B．4 C．5 D．6【解析】选B.由已知3S3＝a4－3，3S2＝a3－3，两式作差得3S3－3S2＝a4－a3＝3a3，所以a4＝4a3，即q＝＝4.3．从动点P向圆C：2＋2＝1作切线，则切线长的最小值为( )A．2 B．2 C．3 D．【解析】选B.依题意，圆C：2＋2＝1，圆心是C，半径是1.从动点P向圆C：2＋2＝1作的切线，PC，圆心到切线的垂线组成一个直角三角形，当切线长最小时，PC为最小，PC＝＝，当a＝－1时，PC取得最小值3，此时切线长为＝＝2.4．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设cn＝abn，Tn＝c1＋c2＋…＋cn，则当Tn<2 020时，n的最大值是( )A．8 B．9 C．10 D．11【解析】选B.因为是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1.因为是以1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝2n－1.所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝ab1＋ab2＋…＋abn＝a1＋a2＋a4＋…＋a2n－1＝(2×1－1)＋(2×2－1)＋(2×4－1)＋…＋＝2－n＝2×－n＝2n＋1－n－2.因为Tn<2 020，所以2n＋1－n－2<2 020，解得n≤9.则当Tn<2 020时，n的最大值是9.5．(2021·合肥高二检测)若实轴长为2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上恰有4个不同的点Pi(i＝1，2，3，4)满足PiB＝2PiA，其中A(－1，0)，B(1，0)，则双曲线C的虚轴长的取值范围为( )A． B．C． D．【解析】选C.依题意可得a＝1，设P，则由PB＝2PA，得＝2，整理得2＋y2＝.由得x2＋x＋2＝0，依题意可知Δ＝－8>0，解得b2>，则双曲线C的虚轴长2b>2＝.6．(2021·合肥高二检测)一艘船的燃料费y(单位：元/时)与船速x(单位：km/h)的关系是y＝x3＋x.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100 km的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A．30 km/h B．30 km/hC．30 km/h D．60 km/h【解析】选A.由题意得，100 km的航程需要小时，故总的费用f(x)＝×.即f(x)＝x2＋100＋.故f′(x)＝2x－＝.令f′(x)＝0有x＝30.故当030时f′(x)>0，f(x)单调递增．使得航行的总费用最少，航速应为30 km/h.7．(2021·天津高二检测)已知椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2：－y2＝1的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e1<1C．m1 D．m0，因为m>1，n>0，所以m>n.因为e1＝＝，e2＝＝，所以e1e2＝＝＝＝>1.8．(2021·重庆高二检测)已知f(x)＝－2t(ln x＋x＋)恰有一个极值点为1，则t的取值范围是( )A．∪ B．C．∪ D．【解析】选D.由题意，函数f(x)的定义域为，对函数f(x)求导得f′(x)＝－2t＝，因为f(x)＝－2t恰有一个极值点为1，所以ex－2t＝0在上无解，即t＝在上无解，令g＝，则g′＝＝>0，所以函数g在上单调递增，当x∈时，g>g＝，所以t≤.二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．(2021·厦门高二检测)下列结论正确的是( )A．已知点P在圆C：2＋2＝2上，则的最小值是B．已知直线kx－y－k－1＝0和以M，N为端点的线段相交，则实数k的取值范围为－≤k≤C．已知点P是圆x2＋y2＝r2外一点，直线l的方程是ax＋by＝r2，则l与圆相交D．若圆M：2＋2＝r2上恰有两点到点N的距离为1，则r的取值范围是【解析】选CD.A选项，设k＝，则y＝kx－2，因为点P在圆C：2＋2＝2上，所以直线y＝kx－2与圆C：2＋2＝2有交点，因此圆心到直线的距离d＝≤，解得k≤－7或k≥1，故A错；B选项，由kx－y－k－1＝0得k－＝0，所以，即直线kx－y－k－1＝0过点P，因为直线kx－y－k－1＝0和以M，N为端点的线段相交，所以只需k≥kPN＝＝或k≤kPM＝＝－，故B错；C选项，圆x2＋y2＝r2的圆心到直线ax＋by＝r2的距离d＝，而点P是圆x2＋y2＝r2外一点，所以a2＋b2>r2，所以d＝<＝r，所以直线与圆相交，故C正确．D选项，与点N的距离为1的点在圆(x－1)2＋y2＝1上，由题意知圆M：2＋2＝r2与圆(x－1)2＋y2＝1相交，所以圆心距d＝MN＝5满足r－10，b>0)的一个焦点坐标为(2，0)，且两条渐近线的夹角为，则双曲线C的标准方程为( )A．－＝1 B．－y2＝1C．x2－＝1 D．x2－y2＝1【解析】选BC.因为焦点坐标为(2，0)，所以c＝2，设渐近线y＝x的倾斜角为θ，由两条渐近线的夹角为，可得2θ＝或π－2θ＝，解得θ＝或θ＝，所以＝tan θ＝或，又a2＋b2＝c2＝4，解得a＝，b＝1或a＝1，b＝，所以双曲线C的方程为－y2＝1或x2－＝1.11．(2021·揭阳高二检测)已知数列的前n项和为Sn＝33n－n2，则下列说法正确的是( )A．an＝34－2nB．S16为Sn的最小值C．＋＋…＋＝272D．＋＋…＋＝450【解析】选AC.a1＝S1＝33－1＝32，an＝Sn－Sn－1＝33n－n2－33＋2＝34－2n，对于n＝1也成立，所以an＝34－2n，故A正确；当n<17时，an>0，当n＝17时an＝0，当n>17时，an<0，所以Sn只有最大值，没有最小值，故B错误；因为当n<17时，an>0，所以＋＋…＋＝S16＝33×16－162＝17×16＝272，故C正确；＋＋…＋＝S16＋(－a17－a18－a19－…－a30)＝2S16－S30＝2×272－(33×30－302)＝544－90＝454，故D错误．12．(2021·菏泽高二检测)已知函数y＝f在R上可导且f＝2，其导函数f′满足>0，若函数g满足exg＝f，下列结论正确的是( )A．函数g在上递增B．x＝2是函数g的极小值点C．x≤0时，不等式f≤2ex恒成立D．函数g至多有两个零点【解析】选ABD.因为exg(x)＝f(x)，所以g(x)＝，则g′(x)＝，当x>2时，f′(x)－f(x)>0，故y＝g(x)在(2，＋∞)上递增，选项A正确；x<2时，f′(x)－f(x)<0，故y＝g(x)在上递减，故x＝2是函数y＝g(x)的极小值点，故选项B正确；由y＝g(x)在(－∞，2)上递减，则y＝g(x)在(－∞，0)上递减，由g(0)＝＝2，得x≤0时，g(x)≥g(0)，故≥2，故f(x)≥2ex，故选项C错误；若g(2)<0，则y＝g(x)有2个零点，若g(2)＝0，则函数y＝g(x)有1个零点，若g(2)>0，则函数y＝g(x)没有零点，故选项D正确．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为______．【解析】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，所以，解得所以冬至的日影子长为15.5尺．答案：15.5尺14．设定义域为R的函数f满足f′>f，则不等式ex－1ff，所以F′(x)＞0，即函数F(x)在定义域上单调递增．因为ex－1f1)的左、右焦点，P为C内一点，Q为C上任意一点．现有四个结论：①C的焦距为2；②C的长轴长可能为；③QF2的最大值为a＋1；④若PQ＋QF1的最小值为3，则a＝2.其中所有正确结论的编号是________．【解析】对于选项①：因为c2＝a2－＝1，所以椭圆C的焦距为2c＝2，故选项①正确；对于选项②：若椭圆C的长轴长为，则a2＝，所以椭圆C的方程为＋＝1，因为＋>1，所以点P在C的外部，这与P在C内矛盾，所以选项②不正确．对于选项③：因为c＝1，Q为C上任意一点，由椭圆的几何性质可知，QF2的最大值为a＋c＝a＋1，故选项③正确；对于选项④：由椭圆定义可知，PQ＋QF1＝PQ－QF2＋2a，因为≤PF2＝1，所以PQ－QF2≥－1，所以PQ－Q。
