高中数学必修三主要内容.doc
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第一章 算法初步1.1 算法与程序图框1. 算法的含义：在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等2. 例子：例1 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法例2 用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：第一步：令f(x)=x2–2因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2第二步：令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0第三步：若f(x1)·f(m)>0，则令x1=m；否则，令x2=m。
第四步：判断|x1–x2|<0.005是否成立？若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步 例3 写出解二元一次方程组 的算法 2x+y=1②解：第一步，②-①×2得5y=3；③ 第二步，解③得y=3/5； 第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法下面写出求方程组的解的算法：第一步：②×A1-①×A2，得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0；③第二步：解③，得；第三步：将代入①，得此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：第一步：取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；第二步：计算与第三步：输出运算结果可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作基础知识应用题例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法解：算法如下 S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数 S3 如果序列中还有其他整数，重复S2 S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值学生做一做 写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法老师评一评 在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法S1 max=aS2 如果b>max, 则max=b.S3 如果C>max, 则max=c.S4 max就是a,b,c中的最大值综合应用题例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n=进行，也可以根据加法运算律简化运算过程解：算法1：S1：计算1+2得到3；S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6；S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10；S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15；S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21算法2：S1：取n=6；S2：计算；S3：输出运算结果算法3：S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；S2：计算3×7；S3：输出运算结果。
小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作学生做一做 求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法老师评一评 算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；第三步，再将15乘以7，得到结果105；第四步，再将105乘以9，得到945；第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果算法2：用P表示被乘数，i表示乘数S1 使P=1S2 使i=3S3 使P=P×iS4 使i=i+2S5 若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个算法2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）1、解：算法如下S1 计算△=b2-4acS2 如果△〈0，则方程无解；否则x1=S3 输出计算结果x1，x2或无解信息2、解：算法如下：S1 使i=1S2 i被3除，得余数rS3 如果r=0，则打印i，否则不打印S4 使i=i+1S5 若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。
1、写出解不等式x2-2x-3<0的一个算法解：第一步：x2-2x-3=0的两根是x1=3，x2=-1第二步：由x2-2x-3<0可知不等式的解集为{x | -1 4. 基本概念：（1）起止框图： 起止框是任何流程图都不可缺少的，它表明程序的开始和结束，所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框2）输入、输出框： 表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置图1-1中有三个输入、输出框第一个出现在开始后的第一步，它的作用是输入未知数的系数a11,a12,a21,a22和常数项b1,b2,通过这一步，就可以把给定的数值写在输入框内，它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机，另外两个是输出框，它们分别位于由判断分出的两个分支中，它们表示最后给出的运算结果，左边分支中的输出分框负责输出D≠0时未知数x1,x2的值，右边分支中的输出框负责输出D=0时的结果，即输出无法求解信息3）处理框： 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号图1-1中出现了两个处理框第一个处理框的作用是计算D=a11a22-a21a12的值，第二个处理框的作用是计算x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D的值4）判断框： 判断框一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”与“否”（也可用“Y”与“N”）两个分支，在图1-1中，通过判断框对D的值进行判断，若判断框中的式子是D=0，则说明D=0时由标有“是”的分支处理数据；若D≠0，则由标有“否”的分支处理数据。 例如，我们要打印x的绝对值，可以设计如下框图5. 三种基本结构： 1）顺序结构：顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的例2：已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法程序框图： 2）条件结构：一些简单的算法可以用顺序结构来表示，但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理因此，需要有另一种逻辑结构来处理这类问题，这种结构叫做条件结构它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构例3：任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，画出这个算法的程序框图算法分析：判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，只需要验收这3个数当中任意两个数的和是否大于第3个数，这就需要用到条件结构程序框图：3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。 循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：（1）一类是当型循环结构，如图1-5（1）所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P1 是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P1 不成立为止，此时不再执行A框，从b离开循环结构2）另一类是直到型循环结构，如下图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P2是否成立，如果P2 仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P2成立为止，此时不再执行A框，从b点离开循环结构例4：设计一个计算1+2+…+100的值的算法，并画出程序框图算法分析：只需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值为0，计数变量的值可以从1到100程序框图：1.2 算法的基本语句输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句INPUT “x=”;x y=x^3+3*x^2-24*x+30PRINT xPRINT yEND（一）输入语句在该程序中的第1行中的INPUT语句就是输入语句这个语句的一般格式是：INPUT “提示内容”；变量其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。 如每次运行上述程序时，依次输入-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成：INPUT。
