《微积分》教学课件08微分方程与差分方程.pptx

第八章微分方程与差分方程(1)了解微分方程中微分方程的阶、通解、特解及微分方程的初始条件等基本概念.(2)熟练掌握可分离变量的微分方程的解法.(3)熟练掌握一阶线性微分方程的形式及其解法.(4)掌握二阶常系数齐次线性微分方程及其通解的求法.第八章 微分方程与差分方程学习目标(5)掌握二阶常系数非齐次线性微分方程自由项为f(x)=Pm(x)ex和f(x)=exPl(x)cos x+Pn(x)sin x两种形式的特解及解法.(6)了解差分方程中差分、差分方程的通解与特解等基本概念.(7)掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法.(8)能够运用差分方程和微分方程求解简单的经济应用问题.第八章 微分方程与差分方程学习目标目录Contents第一节 微分方程的基本概念第二节 一阶微分方程第三节 二阶常系数线性微分方程第四节 微分方程在经济管理中的应用第六节 差分方程在经济学中的应用第五节 差分方程的基本概念及解法01微分方程的基本概念第一节 微分方程的基本概念在解决实际问题的过程中，我们能比较容易地发现变量与它们的导数或微分之间的联系，通过这个联系我们可以得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程.通过求解所得的微分方程，从而找出指定的未知量之间的函数关系.下面我们通过两个实例来介绍微分方程的基本概念.第一节 微分方程的基本概念例8-1 有一曲线过点（1，1），并且其上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求这条曲线的方程.解 设曲线方程为y=y(x)，则有 =2x，两边同时积分，可得y=x2+C.因为曲线过点（1，1），故1=12+C C=0，故此曲线的方程为y=x2.例8-2 假设某函数满足关系式y=f(x)，并满足f(x)=4x，f(0)=2，f(0)=1，求此函数y=f(x).解 由函数微积分学知识可知，其中，C1，C2为任意常数.由已知f(0)=2，f(0)=1，可得 f(0)=C1=2，f(0)=C2=1则有第一节 微分方程的基本概念定义8-1 一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.如例8-1中的 =2x，例8-2中的f(x)=4x.定义8-2 由一元函数建立的微分方程称为常微分方程.形如F(x,y,y,y(n)=0或y(n)=f(x,y,y,y(n1).由多元函数确立的微分方程称为偏微分方程.定义8-3 微分方程的阶是指微分方程中未知函数的最高导数或微分的阶数.例如，例8-1中的微分方程 =2x是一阶微分方程，例8-2中的微分方程f(x)=4x是二阶微分方程；又如，x5y(4)+x2y+4xy=0是四阶微分方程，y(6)10y=sin x是六阶微分方程.第一节 微分方程的基本概念定义8-4 微分方程的解是指能够使微分方程成为恒等式的函数.定义8-5 当微分方程的阶数与微分方程的解中含有的独立的任意常数的个数相等时，称此解为微分方程的通解.例如，例8-1中的y=x2+C是方程y=2x的通解，例8-2中的f(x)=x3+C1x+C2是方程f(x)=4x的通解.定义8-6 用来确定微分方程通解中n个任意常数的条件称为初值条件.例如，y(x0)=y0,y(x0 )=y0,y(n-1)(x0 )=y(n-1)0.一阶微分方程的初值条件为：当x=x0 时，y=y0或y丨x=x0 =y0.二阶微分方程的初值条件为：当x=x0 时，y=yy0，y=y0或y丨x=x0 =y0，y丨x=x0 =y0.第一节 微分方程的基本概念定义8-7 微分方程的特解是指微分方程不含任意常数的解.例如，例8-1中的y=x2，例8-2中的f(x)=x3+2x+1.定义8-8 一阶微分方程的初值问题是指求微分方程y=f(x,y)满足初值条件y丨x=x0 =y0 的特解问题，常记为 二阶微分方程的初值问题为 第一节 微分方程的基本概念例8-3 已知x=C1cos t+C2sin t是方程 +x=0的通解，求满足初始条件x丨t=0=0的特解.解将x丨t=0=A代入x式，得C1=A；将 =0代入 =C1sin t+C2cos t，得C2=0.所以，x=Acos t是方程的特解.第一节 微分方程的基本概念02一阶微分方程定义8-9 可分离变量的微分方程是指形如 =f(x)g(y)或g(y)dy=f(x)dx的微分方程.这类方程的求解方法是将方程中的两个变量x，y分离到等式的两边，然后对等式两边同时求不定积分.这种求解微分方程的方法称为分离变量法.分离变量法的具体步骤如下.第一步：分离变量g(y)dy=f(x)dx.第二步：两边同时积分g(y)dy=f(x)dx ，得G(y)=F(x)+CG(y)，F(x)分别为g(y)和f(x)的原函数上式称为原方程的隐式通解.由隐式通解化简得到的函数y=f(x)称为微分方程的显式解.第二节 一阶微分方程一、可分离变量的微分方程例8-4 求微分方程 =3x2y的通解.解 分离变量，得两边积分，得隐式通解为即令C=eC1，得原方程的通解为第二节 一阶微分方程一、可分离变量的微分方程例8-5 求微分方程 的通解.解 分离变量，得 eydy=cos xdx两边积分得 eydy=cos xdx得 ey=sin x+C1这个通解为微分方程的隐式通解.第二节 一阶微分方程一、可分离变量的微分方程形如 的一阶微分方程称为齐次方程.例如，齐次方程的求解方法如下：令u=则y=ux，等式两边同时求导得 所以，可见该方程为可分离变量的微分方程.先利用变量分离法，再用 代替u，便可得到所给方程的通解.第二节 一阶微分方程二、齐次方程例8-6 解微分方程解 令u=则y=ux，代入所求方程，有 故两端同时积分，得化简得u2=ln x2+2C1.令2C1=C，即是原方程的通解.第二节 一阶微分方程二、齐次方程例8-7 求解微分方程 满足初始条件y丨x=2=的特解.解 令u=则y=ux，代入所求方程，有 故两端同时积分，得化简得sin u=Cx，将u=回代，则所求方程通解为sin =Cx.将初始条件y丨x=2=代入通解中，得C=故所求的特解为 第二节 一阶微分方程二、齐次方程定义8-10 一阶线性微分方程是指形如其中P(x)，Q(x)是x的函数的微分方程.当Q(x)0时，是 +P(x)y=Q(x)对应的一阶齐次线性微分方程.当Q(x)时，+P(x)y=Q(x)称为一阶非齐次线性微分方程.下面来介绍一阶线性微分方程的解法.第二节 一阶微分方程三、一阶线性微分方程1.一阶齐次线性微分方程的解法显然，+P(x)y=0是可分离变量的微分方程，可求得其通解.令Q(x)=0，有 =P(x)dx，得ln丨y丨=P(x)dx+C1，化简得一阶齐次线性微分方程的通解为 其中，C为任意常数.为了以后书写方便，我们规定不定积分P(x)dx 是P(x)的一个原函数.第二节 一阶微分方程三、一阶线性微分方程2.一阶非齐次线性微分方程的解法现在我们运用常数变易法来求解一阶非齐次线性微分方程的通解.常数变易法是将一阶齐次线性微分方程的通解 中的C换成关于x的函数C(x)，具体求解如下.令 +P(x)y=Q(x)的解为y=C(x)则将y，y代入 +P(x)y=Q(x)，有第二节 一阶微分方程三、一阶线性微分方程故化简得两边同时积分，得因此，微分方程 +P(x)y=Q(x)的通解为第二节 一阶微分方程三、一阶线性微分方程即 为方程 +P(x)y=0的通解，为方程 +P(x)y=Q(x)的一个特解.可见，一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.在具体求解微分方程 +P(x)y=Q(x)时，可以运用常数变易法，即先求出微分方程 +P(x)y=Q(x)的通解，然后将通解中的C换成函数C(x)，再将y=C(x)eP(x)dx 代入微分方程 +P(x)y=Q(x)进行求解.也可以记住通解公式，将所求方程中的P(x)和Q(x)直接代入y=eP(x)dx Q(x)e P(x)dx dx+C进行求解.第二节 一阶微分方程三、一阶线性微分方程例8-8 求 的通解.解先求对应的齐次方程的通解：+y=0，=dx，ln丨y丨=x+C1.令eC1=C，得y=Cex.利用常数变易法，令y=C(x)ex是原方程的通解，将其代入方程化简整理可得 C(x)=1，C(x)=x+C故所求的非齐次方程的通解为 y=(x+C)ex（C为任意常数）第二节 一阶微分方程三、一阶线性微分方程例8-9 求微分方程y+满足y丨x=1的特解.第二节 一阶微分方程三、一阶线性微分方程再将初值条件y丨x=1代入，得1=(cos+C)，解得C=1.因此，所求微分方程的特解为03二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式如下：其中，p，q为常数；f(x)为已知函数，称为方程的自由项.当f(x)0时，y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程.当f(x)时，y+py+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程.第三节 二阶常系数线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构二阶常系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的解满足叠加原理.定理8-1（齐次方程解的叠加原理）如果函数y1(x)和y2(x)是方程y+py+qy=0的两个解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y+py+qy=0的解，其中C1，C2是任意常数.证明 对函数y=C1y1(x)+C2y2(x)求导数，得y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C1y1(x)+C2y2(x)将上述两式代入y+py+qy=0，有C1y1(x)+C2y2(x)+pC1y1(x)+C2y2(x)+qC1y1(x)+C2y2(x)=0C1y1(x)+py1(x)+qy1(x)+C2y2(x)+py2(x)+qy2(x)=0第三节 二阶常系数线性微分方程一、线性微分方程的解的结构定理8-2（二阶齐次线性微分方程的通解的结构）若y1(x)，y2(x)是y+py+qy=0的两个线性无关的特解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)（C1，C2是任意常数）是方程y+py+qy=0的通解.2.二阶常系数非齐次线性微分方程的解的结构二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=fx的解满足定理83.定理8-3 设Y(x)是方程y+py+qy=fx相应的齐次方程y+py+qy=0的通解，y*(x)是y+py+qy=fx的一个特解，那么，y=Y(x)+y*(x)是方程y+py+qy=fx的通解.第三节 二阶常系数线性微分方程一、线性微分方程的解的结构第三节 二阶常系数线性微分方程一、线性微分方程的解的结构证明 把y=Y(x)+y*(x)代入y+py+qy=fx，得Y+y*+p(Y+y*)+q(Y+y*)=(Y+pY+qY)+(y*+py*+qy*)=0+f(x)=f(x)例8-10 解方程y+y=x2.解显然，y1=cos x，y2=sin x是原方程所对应的齐次方程y+y=0的两个特解，故y=C1cos x+C2sin x是齐次方程的通解，而y*=x22是所求非齐次方程的一个特解.因此，原方程的通解为 y=C1cos x+C2sin x+x22定理8-4（非齐次线性方程解的叠加原理）设非齐次线性方程y+py+qy=fx等号右端的f(x)是几个函数之和，如 y+py+qy=f1(x)+f2(x)而y*1(x)，y*2(x)分别是方程y+py+qy=f1(x)与y+py+qy=f2(x)的特解，则y*1(x)+y*2(x)就是y+py+qy=f1(x)+f2(x)的特解.性质8-1若y1(x)和y2(x)是y+py+qy=f(x)的两个特解，则y=y1(x)y2(x)是y+py+qy=0的解.第三节 二阶常系数线性微分方程一、线性微分方程的解的结构由于函数y=erx的一阶导数、二阶导数只差常数倍，因此只需要选取适当的r，使y=erx满足方程y+py+qy=0.现在将y=erx代入方程y+py+qy=0，化简得 r2+pr+q=0上式称为方程y+py+qy=0的特征方程.求解r2+pr+q=0，可得若r1，r2为两个不等实。