高等代数【北大版】（41）.ppt

§4 n 级行列式的性质,§8 Laplace定理 行列式乘法法则,§3 n 级行列式,§2 排列,§1 引言,§5 行列式的计算,§7 Cramer法则,§6 行列式按行(列)展开,第二章 行列式,一、余子式、代数余子式,二、行列式按行(列)展开法则,§2.6 行列式按一行（列）展开,引入,,,,,,,,,,,可见，三级行列式可通过二级行列式来表示．,,,,一、余子式、代数余子式,定义,在 n 级行列式 中将元素 所在的,第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置,次序构成一个 级的行列式，,称之为元素 的余子式,记作 ．,令,称 之为元素 的代数余子式．,注：,① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式,和代数余子式．,无关，只与该元素的在行列式中的位置有关．,② 元素 的余子式和代数余子式与 的大小,,元素除 外都为 0，则,1.引理,二 、行列式按行(列)展开法则,若n 级行列式 D = 的 中第 i 行所有,证：,先证 的情形，即,由行列式的定义，有,结论成立一般情形：,结论成立2.定理,行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其,对应的代数余子式乘积之和，即,或,行列式按行（列）展开法则,证：,例1.计算行列式,解：,,,例2.证明范德蒙行列式,证：用数学归纳法.,时，,假设对于 级范德蒙行列式结论成立．即,结论成立．,把 从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的,倍，得,下证对于 n 级范德蒙行列式 结论也成立.,范德蒙行列式 中至少两个相等．,注：,,,3.推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的,对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,,,∴ 当 时,,同理可证,,,综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：,例3.设 求,解：,,和,例4.证明：,练习：,1. 计算行列式,2. 设 求,答案：,。