多元函数微分法及其应用第五节方向导数与梯度.ppt

1 -,第五节 方向导数与梯度,一 方向导数 二 梯度,,,- 2 -,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行．,1 问题的提出,一 方向导数,,,,,- 3 -,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题．,,,,2 方向导数的定义,- 4 -,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,- 5 -,记为,- 6 -,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,,故有方向导数,- 7 -,解,,如果记,为,到,方向的转角,,则方向导数的计算,公式为,,- 8 -,解,方向的逆时针转角，,故,例2 求函数,在点（1，1）处,沿任何一方向l 的方向导数，并问在怎样的方向上此方,向导 数有（1）最大值；（2）最小值（3）等于零？,设,为,轴到,则,- 9 -,推广可得三元函数方向导数的定义,,- 10 -,解,令,故,方向余弦为,- 11 -,故,- 12 -,例4 设函数,求函数在点,M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向,的方向导数,解 曲线,在点M (1,1,1) 处切线的方向,向量为,,- 13 -,二 梯度,1 场的概念,定义,当对应的物理量为数量时，则称为数量场，,当对,应的物理量为向量时，则称为向量场。

上的数量场,区域,,上的数量函数,上的向量场,区域,,上的向量函数,在空间直角坐标系下，,数量函数可以表示为,向量函数可以表示为,- 14 -,由方向导数公式,令向量,,方向导数取最大值：,,,,,2 梯度的概念,- 15 -,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,,,定义,其模恰为这个最大变化率的数值，,,- 16 -,当,且,一阶偏导数连续时,,说明:,引入哈密尔顿微分算子,,则梯度可以表示为,,- 17 -,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,,指向函数增大的方向.,另一方面，函数,在点P处沿梯度方向,的方向导数是最大的，,从而沿梯度方向函数值是增加,的，,所以,3 梯度的几何意义,函数,过点,当各偏导数不同时为零时,,其上点P 处的法向量为,有等值(量)面,- 18 -,解,由梯度计算公式得,故,- 19 -,例6 求数量场,在点,处,沿曲面,的内法向的方向导数分析：,曲面,在点,处的等值面，,为函数,其内法向,u 的函数值增大的,方向，,根据梯度的几何意义：,数量场u 为在点M 处的梯,度为函数u 过点M 的等值面的法向，,且指向u 函数值增,加一方，,因此,在点,处的内法向,为数量场u 在点,处梯度的方向，,再由梯度的定义,数量场u 沿梯度方向的方向导数最大，,最大的方向导数,为梯度的模。

20 -,例6 求数量场,在点,处,沿曲面,的内法向的方向导数解,- 21 -,例7,证:,试证,,- 22 -,4 梯度的基本运算公式,。