辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期12月月度质量监测数学试卷(含答案).docx

辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期12月月度质量监测数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．设集合,,则( )A. B.C. D.2．已知i是虚数单位,则复数,,若是实数,则实数a的值为( )A. B.2 C.0 D.13．不等式成立的一个充分不必要条件是( ).A. B. C. D.4．一百零八塔,位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一,塔的排列顺序自上而下,第一层1座,第二层3座,第三层3座,第四层5座,第五层5座,从第五层开始,每一层塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列,总计一百零八座,则该塔共有( )A.八层 B.十层 C.十一层 D.十二层5．已知某圆锥的母线长为2,记其侧面积为S,体积为V,则当取得最大值时,母线与底面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.6．已知函数,将图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象,若是奇函数,在上单调递增,则的最大值为( )A. B.1 C.2 D.37．已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为( )A. B.C. D.8．如图,棱长为的正方体的内切球为球O,E,F分别是棱,的中点,G在棱上移动,则( )A.对于任意点G,平面B.直线被球O截得的弦长为C.过直线的平面截球O所得的所有截面圆中,半径最小的圆的面积为D.当G为的中点时,过E,F,G的平面截该正方体所得截面的面积为二、多项选择题9．下列通项公式中,对应的数列是递增数列的是( )A. B.C. D.10．已知,.若,则( )A.的最小值为9 B.的最小值为9C.的最大值为 D.的最大值为11．已知内角A,B,C对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是( )A.若,则B.若,则为等腰三角形C.若,则为锐角三角形D.若,,的三角形有两解三、填空题12．若函数是奇函数,则________.13．在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线恰好平分矩形的面积,则该“堑堵”的正视图的面积是________,体积是________.14．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于点,,若点,且,则直线的斜率为________.四、解答题15．已知函数.（1）函数取得最大值或最小值时的x组成集合A,将集合A中的所有x的值,从小到大排成一数列,记为,求数列的通项公式;（2）令,求数列的前n项和.16．某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数,;;.（1）求出这个常数;（2）结合（1）的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.17．在如图所示的五面体中,四边形为直角梯形,,平面平面,,是边长为2的正三角形.（1）证明:平面;（2）证明:平面.18．已知双曲线的焦点为,且过点.（1）求双曲线E的方程;（2）过点F作斜率分别为,的直线,,直线交双曲线E于A,B两点,直线交双曲线E于C,D两点,点M,N分别是,的中点,若,试判断直线是否过定点?若是,则求出该定点坐标;若不是,请说明理由.19．已知函数为自然对数的底数（1）求在处的切线方程;（2）当时,,求实数a的最大值;（3）证明:当时,在处取极小值.参考答案1．答案：C解析：设集合,可得:,且,故.故选:C.2．答案：A解析：因为,因为是实数,则,解得.故选:A.3．答案：A解析：不等式化为,即,,解得,不等式成立的充要条件是所以不等式成立的一个充分不必要条件是,故选A.4．答案：D解析：设该塔共有层,则,即,解得或（舍）,即该塔共有层.故选:D5．答案：A解析：如图,C为圆锥底面的中心,则底面圆C,则即为圆锥母线与底面所成的角,设圆锥的半径为,则圆锥的高为,所以,当且仅当即,则母线与底面所成角的正弦值为.故选:A.6．答案：C解析：依题意,为奇函数,则,即,,由于,所以,,因为,则,由于在上单调递增,可得,解得,所以的最大值为2.故选:C.7．答案：A解析：因为直线与圆相切，设圆的半径为r，则，所以圆的标准方程为.故选：A.8．答案：C解析：对于A,根据已知条件圆O为以O为圆心,半径的圆;G在棱上移动,当G与点A重合时,平面即为平面,因为D在直线上,所以平面,所以与平面相交,A错误;对于B,以D点为坐标原点,、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则、、、,则,,,设直线与直线夹角为,则,由此可知,连结,过O作直线的垂线,垂足为M,则在中,有,解得,设直线被球O截得的弦长为l,则,B错误;对于C,过直线的平面截球O所得的所有截面圆半径最小时,有垂直于过的平面,此时圆的半径为,圆的面积为,C正确;对于D,根据题意当G为的中点时,过E,F,G的平面截该正方体所得截面为正六边形,,在中,,所以边长,所以截面面积为,D错误.故选:C9．答案：ABD解析：对于A,由于,故数列是递增数列;对于B,由于,故数列是递增数列;对于C,由于,,,故数列不是递增数列;对于D,由于,,当时,,,即,又,所以数列是递增数列.故选:ABD.10．答案：BC解析：由题意知,.A.,当,即时,等号成立,所以的最小值是4,故A不正确;B.,当,,时,等号成立,所以的最小值为9,故B正确;C.由于,,故,当时等号成立,即时等号成立,所以的最大值为,故C正确;D.,当且仅当时,即时,等号成立,但,所以等号不能成立,故D不正确.故选:BC.11．答案：ABD解析：对于A,因为,则由正弦定理可得,,所以,即,故A正确;对于B,由余弦定理得,化简得,故为等腰三角形,故B正确;对于C,由余弦定理,因为,所以,故只能判断C为锐角,无法判断A,B,故C错误;对于D,若,则由正弦定理得,因为,所以三角形有两解,故D正确;故选:ABD.12．答案：解析：若,则,故,而,所以.故答案为:13．答案：1;2解析：由三视图可知,该几何体的直观图如下图所示:该几何体为直三棱柱,正视图为等腰直角三角形,且斜边长上的高为1,斜边长为,故该“堑堵”的正视图的面积是,体积为.故答案为:1;2.14．答案：解析：设直线的斜率为k,,,则直线,,联立方程,消去y得,,则,,故,,设直线的倾斜角为,则,则,故,令,解得.故答案为:.15．答案：（1）,;（2）.解析：（1）由,所以且时,最小值为,且时,最大值为2,结合题意知,,故,（2）由,所以.16．答案：（1）（2）当时,,证明见详解解析：（1）因为,故常数为;（2）推广:当时,.证明:因为,则,.17．答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）因为四边形为直角梯形,所以AB//CD,又平面CDEF,平面CDEF,所以AB//平面CDEF,又平面BAEF,平面平面,所以,又平面,平面,所以平面.（2）取的中点N,连接,,,,依题意易知,又因为平面平面,平面平面,所以平面,又平面,所以,又,,所以,所以,又,所以平面,又平面,所以,因为平面平面,平面平面,,所以平面,,由（1）有:,所以,在和中,,,又,所以,所以.因为,,平面,所以平面.18．答案：（1）（2）过定点,解析：（1）由题意知,解得,,所以双曲线E的方程是;（2）直线的方程为,设,,.由,得,所以,所以,所以,所以,同理可得,因为,所以,即,当且时,,所以直线的方程为,,,,,所以,所以直线过定点;当或时,直线的方程为,所以直线过定点.综上,直线过定点.19．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：（1）,且,则所以在处的切线方程为（2）当时,,即,当时,,当时,,即,令,则,因为,所以当时,,在上单调递增;当时,,在上单调递减,所以,所以所以实数a的最大值为.（3）令,若,当,和都单调递增,所以单调递增,①当,即时,则,,则在上单调递增,而,所以当时,,所以在上单调递减;当时,,所以在上单调递增;所以在处取极小值;②当,即时,且,单调递增,所以存在,使得,且时,,则在上单调递增,而,所以当时,,所以在上单调递减;当时,,所以在上单调递增;所以在处取极小值.综上,当时,在处取极小值.。