全国版高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式学案板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识]考点1 绝对值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)绝对值不等式|x|>a与|x|0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．考点2 绝对值不等式的应用1．定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3．由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.(2)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.(3)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|ax＋b|≤c(c≥0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.( )(2)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )(3)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )(4)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )(5)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．[课本改编]不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)答案 D解析 由题得⇒⇒得解集为(－2,1]∪[4,7)．3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 A解析 ∵|x＋3|－|x－1|≤|(x＋3)－(x－1)|＝4，∴a2－3a≥4恒成立，∴a∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．4．[课本改编]不等式|x－1|<4－|x＋2|的解集是________．答案 解析 由|x－1|<4－|x＋2|，得或或解得1≤x<或－22，所以x>2.综上可知，原不等式的解集为.板块二 典例探究·考向突破考向 绝对值不等式的解法例 1 [xx·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解 (1)f(x)＝当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝，故m的取值范围为.触类旁通绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a>0，|x|a⇔x<－a或x>a.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．【变式训练1】 [xx·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．解 (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤.所以f(x)≥g(x)的解集为(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．考向 绝对值三角不等式的应用例 2 (1)[xx·江西模拟]已知函数f(x)＝|2x－1|.①求不等式f(x)<4的解集；②若函数g(x)＝f(x)＋f(x－1)的最小值为a，且m＋n＝a(m>0，n>0)，求＋的取值范围．解 ①不等式f(x)<4，即|2x－1|<4，即－4<2x－1<4，求得－0，n>0)，则＋＝＋＝1＋＋＋＝＋＋≥＋2＝＋，当且仅当m＝4－2，n＝2－2时等号成立，故＋的取值范围为.(2)[xx·太原模拟]已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.①解不等式：|g(x)|<5；②若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．解 ①由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5，所以－7<|x－1|<3，解不等式得－21时，2x≥3，∴x≥1.5.综上所述x≤－1.5或x≥1.5.(2)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.①若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；②当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．解 ①由题f(x)≤2－|x－1|，可得＋|x－1|≤1.而由绝对值的几何意义知＋|x－1|≥，由不等式f(x)≤2－|x－1|有解，得≤1，即0≤a≤4.故实数a的取值范围是[0,4]．②函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a<2，即<1时，f(x)＝所以f(x)min＝f＝－＋1＝3，得a＝－4<2(符合题意)，故a＝－4.考向 与绝对值不等式有关的求参问题例 3 [xx·安徽模拟]已知函数f(x)＝|x－4|，g(x)＝a|x|，a∈R.(1)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)>2g(x)＋1；(2)若不等式f(x)≥g(x)－4对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．解 (1)当a＝2时，不等式f(x)>2g(x)＋1为|x－4|>4|x|＋1，x<0，不等式化为4－x>－4x＋1，解得x>－1，∴－14x＋1，解得x<，∴0≤x<；x>4，不等式化为x－4>4x＋1，解得x<－，无解；综上所述，不等式的解集为{x.(2)若不等式f(x)≥g(x)－4对任意x∈R恒成立，即|x－4|≥a|x|－4对任意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－4|≥a|x|－4恒成立；当x≠0时，问题等价于a≤对任意非零实数恒成立．∵≥＝1，∴a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．触类旁通(1)当a＝2时，不等式f(x)>2g(x)＋1为|x－4|>4|x|＋1，分类讨论求得x的范围．(2)由题意可得|x－4|≥a|x|－4对任意x∈R恒成立．当x＝0时，不等式显然成立；当x≠0时，采用分离参数法，问题等价于a≤对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得a的范围．含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．【变式训练3】 (1)已知函数f(x)＝|1－2x|－|1＋x|.①若不等式f(x)<4的解集为{x|a时，x－2<4，∴
