高清晰物理学难题集萃力学试题0102舒幼生.pdf

力 学 试 题(-) 【 题 刂 如力试(一)图1-1所示,轰炸机以速度 o I作水平匀速飞行,飞行高度为H为使炸 弹命中地面目 标,试问应在离目 标多大水平距离处投弹?2在地面上与目标距离为D处有一 高射炮,在飞机投放炸弹的同时发射炮弹,为使炮弹能击中飞行中的炸弹,试问炮弹初速 u a 至少 要多大?3若 ,z 取最小值,试问炮弹的发射角是多少? 已知轰炸机,高射炮和臼 标均在同一竖直平面内 设空气阻力可略 TΗ 一 一 一 一 一 一 · :.一 脚 为 别 分 程 方 ’ α 为 角 射 发 2, υ 为 速 丶 初 弹 炮 设 2 力试(-)图1-1 ° 亠 “〓 力试(-)图1-2 【 分析I 如力试(-)图1-2,炸弹作平抛运动,为使炸弹命中目标,要求飞机从投放炸弹处飞行 到目 标上方所需时间与炸弹落地所需时间应相同,于是第 1问可解 取平面Jy 坐标如力试(一)图1-2,==0为投放炸弹处 取炸弹刚投放开始运动的时刻为 计时起点,分别列出炸弹和炮弹的运动方程,炮弹能击中炸弹,要求两者同时到达同一位置 由 此,第2问可解 再取 u z 的最小值,解出相应的发射角 口,此为第3问 。

【 解】 1如力试(-)图1-2,设投弹点与目 标的水平距离为 L,炸弹从投放处飞行到目标上方 所需时间为J,则有 L〓v Iε 及 厂 撺g 故 H 1089 及 ∶∶∶ ∶∶ ∴ ∴ ∶∶∶ ∶∶∶∶ ∶ ∶ J 因炸弹与炮弹同时投发,又取投发时刻为计时零点,故上式中的 J相同,不必区分 当炮弹击中炸 弹时,应有 { 1三j ; 即 v n ε=L-D+(u a o o m )ε H-÷r 2〓(z 血▲ 口 )ε-亏彡 2 由上述第I式得出炮弹击中炸衤的时间r 为 由上述第2式得出J为 故有 或 令 则有 或 得出关于c o s α 的二 次方程为 解 出 为使 o s α有买数解,必须满足 · 】090 · J〓 L-D v Ⅱ ¨V2(“、口 ` 〓 亠 v 2s In α L-D = H v 1ˉV200s α V2⒍n α 华 f 严P蕊n c : M曲 m 〓Κ-o o s 加 〃k 1-Pα)=(Κ- s 口)2 (1+M2)c Pαˉ 2Ks c +K2-Ma = o o s j = υ ˉ 一υ 2 〓 K 〓 ~Η 〓 M 即 即 1+Ma ≥K2 1+(∵ )2≥ (谠 )2 v 号≥ 故炮弹速度至少应为 3,当z ,z 取最小值时,有 故发射角a 应满足 【 题丬 如力试(一)图2-1,半 径为R的空心曰环固定在滑块上,滑块放置在光滑水平地面。

L, 滑块与圆环的总质量为M,质量为″的小球(看戍质点)可在环内作无摩擦运动 开始时小球位 于圆环最高点,环与小球均静止 在微小扰动下小球沿环下滑△ 试求小球相对地面的轨迹方 程.2试用物理方法求小球轨迹(相对地面)在力试(一)图2-1中A、B两处的曲率半径 【 分析】 并人求解之中 力试(一)图2-1 力试(一)图2-2 【 解】 1为求小球相对地面的运动轨迹,设置两个坐标系,如力试(一)图2-2所示 固定坐标系o Jy ,固定于地面,开始时的环心位置为坐标原点o 运动坐标系o ‰7,固定于圆环,环心为坐标原点o ' 在运动坐标系o △7中 考察 小球运动,小球沿圆环作圆周运动,轨迹方程为圆方程, 〓 υ ˉ 一叻 〓 K IIIhΓ Ill ο 】09】 ='2+y ′ 2=R2 把上述方程转换到固定的地面坐标系中,因两个坐标系在丿方向无相对运动,故有 y =y 小球与圆环系统在=方向不受外力,故系统在 =方向动量守恒,有 ″ 帑 | M絷刊 即 ″山叶Md JM=o 式中=为小球的=坐标,=H为环心的=坐标(表示圆环的位置 )因开始时,有 ===H=o 故有 -+‰ 〓o =M一和 由相对运动公式 =′ ==ˉ =M=』牡 气 把='和/代人方程(1)式 ,得出 小球在固 定的地面坐标系中的轨迹方程为 (且钅 该 f 丝)2=2+y 2=R2 或 { 豳)2十 主s =1 即 笳+笳 ⊥ 1 这是 椭圆方程,其 中 己=房叩‰,D=R,ε(3,女 日 力试 (∵)图2-3所示。

】092 力试(_)图2-3 2.对于任何曲线运动,如力试(一)图2-4所示,曲线的每一小段均可看作是一个圆的回 △,该田的半径卩称为曲线在该小段处的曲率半径若物体沿曲线运动,在该小段处的法向加速 度为n n ,速度为v ,则有 V2 巴】 丁 可见,由v 和c n 可以求得曲率半径ρ :在本题中,当 小球沿柑田轨迹经过A点时,设小球的速度为v (相对地面),其方向应竖苴向 下,设小球受圆环的支持力为N(水平方向),如力试(-)图2-5所示 由牛顿笫 二定律 , N=″ ￡ p A p A即为小球轨迹在A点的曲率半径 为求N,取困环为参考系 因回环有加速度己Ⅱ,故是非讧性系 如力试(-)图 2-6所示,小 球在水平方向除受环的支持力N外,还受惯性力m n M的作用 由牛顿笫 二定律 , N+刀n M=祝 t 丁 式中v '是小球在A点相对圆环的速度,其方向竖直向下 因在竖苴方向口环与地面无相对运动, 故 V=V · 力试(-)图2-5力试(-)图2-6 再以地面为参考系,圆环(连同滑块)在反作用力N的作用下产生加速度c M,故有 N〓M‰ 由以上三式.得 N〓硭 争 ‰ 亻 代人t z )式,得 M+″ 故小球椭圆轨迹在A点处的曲率半径为 v 2 v 2 页=″瓦 p A=尘‰ 而 严 丝 R 厂 ` Ⅳ ^ o 丿 Ⅱ093 嫦 黝 N~ ″g △勿逆 凡 求 轨迹在B点的曲率半径。

虽 嵩 辍 N-〃=″ 钅f 由以上两式,得 R υτ υ 〓 幻 小球 位于B点时,圆环继续向右运 由动量守恒, 故 即 代入,得 动,设速度为 v M由速度叠加法则,小球相对圆环的速度为 V=v +u M ″Ψ=M‰ ,‰=螽v v ∶=v +罱v =骂冫丝 v 矛 =石歹 孥 勹 万 p :=(豳 } ?R 又,根据有关掂圆的几何知识,PA=f ,p :=亻 :现 已知 c =而晋缶R,D=R,代人,Π 以得 Ι0,J · Jr 力讧(一 冫 曰 2-8 到同样结果 【 E3】 如力试(一)图 3-1,质量为M、半径为R的圆筒垂直放置在光滑水平面上 质量为 ″ 的小球从圆筒顶部沿圆筒内壁的螺旋构柑无库掠地下滑 筒高h 正好等于蜾距,即小球沿筒壁 纨一 周时正好到达筒底 开始时小球与圆筒均静止不动 1.试分析下滑过程中田筒的运动2.试求小球相对地面参考系所走过的路程 力试(-)图3-1力试(一)图3-2 1饵】 1.先分析小球和圆筒在水平面上投形的运动 如力试 (一)图3-2,小球∵圆筒系统的质 心C与圆筒轴0的距离为 · m R r c ˉr M=M+〃 小球与质心的距离为 涩 r m M+″ 运动时,″、C、0三点始终悍持在同一 直线上。

因小球ˉ圆筒系统在水平方向不受外力,而且开始时均静止不动,由质心运动定理,质心C 的速庋恒为零,即C点相对地面固定不动,质心系亦即固定于地面的坐标系 在质心系中,小球 和0点(圆筒的轴)均绕C点作圆周运劫 又因系统不受外力矩,角 动量守恒,故当小球作圆运 动时,圆筒将获得转动角速度 设圆筒绕垂直轴0的自 转角速度用ω表示 系统绕C点的角动 量包括小球仞绕C点的角动量解r m v m ,圆筒轴心0纨C点的角动量Mr M v M,以及圆筒自转角 动量r o ,即系统角动量为 式中v m 和v M分别是小球 ″ 是圆筒绕0轴的转动惯量,为 刀 r m v m 十Mr Ⅱ VⅡ ˉr o =o 和圆筒M轴心0相对于系统质心C点 (即相对于地面)的速度,F I〓川R2 又,系统在水平方向不受外力P总动量守恒,有 ″v 沆 圭Mu M 由以上三式,得 r o =口r m v m +Mr Mv M=m Um (r m +r M)〓 ″Rv m 卜叫 ﹂ 〓 1095 故圆筒的自转角速度为 o =钅 暴 轷 =踟 m 综上所述,田简轴o 将绕通过固定点C的垂直轴作圆周运动.困半径为 r M= 角速度为 积分,得 当犭、球相对田简绕一周时,即当 时,小球相对地面转过的角度为 ° M〓予 ∶=伽P·圪 铲=』铩 卸 m 同时,圆筒绕自 身的轴o 以角速度° △谓扣 Ⅱ转动。

2小球绕C点的角速度ω m 〓 箩 ,d J为d ε 时间内小球相对地面转过的角度 :犭、球相对圆筒 的角速度 ω ′ =耆∴d ε′ 为d F时间内小球相对曰筒转过的角度 由相对运动公式 臼=ωm +ω 式中 山是圆筒的自转角速度 式中 ωm 是 小球相对口筒轴 o 的角速度,它也等于相对质心 C的 角速度,雨后者又等于圆茼轴相对C的角速度,即 ω m OM=÷箦 击 于 丝 v m 于是 ∵ 亻=埒法 尸 1v m +潞 v m =乎拼丝 v m 或 〓 ¨ ?= m 〓 m d 汐′ =:| 繁:专焉 纟 Fd 夕 夕=￡羊 艹彐 ‰ '' 夕 ′ =2π 夕=2π 所以,小球相对地面在水平面内走过的路程为 小球 在竖直方向走迕的遽 点 卜 蔫 ‰ = :高,故 s ⊥=尼 ·卫 0,J· 为 程 路 总 的 过 走 面 地 对 相 球 小 以 rⅠ F晰 扌 S= 【 百引 如力试(亠)图4-1,质量为M的均匀细扦AB静止放置在光滑水平面上,B端的弹簧 机构(其质量可略)将质量为″的小球(质点)以速度 v 水平弹出,v 的方向与AB杆 的夹角用甲 表示 要求弹出的小球恰好能与细杆的A端相遇(细杆转过的角度不超过θ。

试确定质量比γ= 芳和角度甲的取值范围 力讧(一冫 曰4-2 凡 2+( )2 、 ″ 力试(-)图4-n 【 分析】 如力试(-)图4-2,小球弹出后在水平面内作匀速直线运动 细扦则在水平面内同时 参与两种运动:即质心C的平动和绕质心的转动 经AJ时间后,质心C沿-v 方向移至C′点, 位于A臼亻位置,同时绕质心 σ转过ω ΔJ,细杆位于Aγ,小球曰移动了v Δ‘ 到达A″点,于是正 好与A端相遇?整个过程等效于细杆绕C转过臼 Δ r 到达^t 位移,然后平移到A勹″ 位置 细杆和小球系统在水平方向不受外力和外力矩,故动量守恒,角动量守恒,利用这两个守恒 定律及几何关系,可以得出 γ与甲的关系,从而确定 γ和甲的取值范围 【 解】 设细扦长 ',质 心C位于杆的中心 由动量守恒和角动量守恒,有 ″v =Mu c ^ · J 万″ v s l n 甲=r c ω 式中 Fc 是细杆绕质心轴的转动惯量,ω为细杆转动角速度,有 Jc =:f ∶MJ2 由以上三式,解出 ″ 6″v v c =而v ’ 叩 〓 币 瓦 Γ s 1n 甲 因要求小球与细扦A端相遇,如力试(-)图4-2,由几何关系,有 甲+α=臼ΔJ :(v +℃ )Δ扌 圭 告 ⒃ 叩 ·】 997 · 因 于是 甲=口 2P〓o Δ ` (v +v c )Δε =Jα卜 甲 (v +伽考=J$甲 把 o c 以及o 与v 的关系式代人,得 或 (1+i 管 )v ·i | 台g 兰争 万 ='o o s 甲 (1+芳)=絷 宁=肀 0(田号 肀 (1 ⊥ 言z 《 1 0γ古 甲(1。

139r a d o o ,故 上式 的数值解为 故甲 的取值范围为 r R+凡 由牛顿第二定律, 勿v 2 GMm r O r 幺 式中″和M分别是陨石和地球的质量 陨石的动能为 告 ″v 2=f 爹锷 千 茁后动能损失2%,变为 】撞前、 后引力势能不变,为 】后陨石的总机械能力 Ek =0.98f 釜 等 ← Ep = r o 峦=Ek +Fp =ˉ GMm (1~ 鱼 芳 E)=-⊥匹 。