《多目标决策》ppt课件.ppt

第13章 多目标决策,13.1 基本概念 13.2 决策方法 13.3 多目标风险决策分析模型 13.4 有限个方案多目标决策问题的分析方法 13.5 层次分析法（AHP） 思考与练习,13.1 基本概念,例13.1 房屋设计 某单位计划建造一栋家属楼,在已经确定地址及总建筑面积的前提下,作出了三个设计方案,现要求根据以下5个目标综合选出最佳的设计方案： (1） 低造价（每平方米造价不低于500元,不高于700元） (2） 抗震性能（抗震能力不低于里氏5级,不高于7级）； (3） 建造时间（越快越好）； (4） 结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等设计合理）； (5） 造型美观（评价越高越好） 这三个方案的具体评价如表13.1所示表13.1 三种房屋设计方案的目标值,1． 多目标决策问题的基本特点 例13.1就是一个多目标决策问题类似的例子可以举出很多多目标决策问题除了目标不止一个这一明显的特点外,最显著的有以下两个特点：目标间的不可公度性和目标间的矛盾性所谓目标间的不可公度性, 是指各个目标没有统一的度量标准,因而难以直接进行比较例如房屋设计问题中,造价的单位是元/平方米,建造时间的单位是年,而结构、造型等则为定性指标。

 所谓目标间的矛盾性, 是指如果选择一种方案以改进某一目标的值,可能会使另一目标的值变坏如房屋设计中造型、抗震性能的提高,可能会使房屋建造成本提高,2． 多目标问题的三个基本要素 一个多目标决策问题一般包括目标体系、备选方案和决策准则三个基本因素目标体系是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构 备选方案是指决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案有的被选方案是明确的、有限的,而有的备选方案不是明确的,还有待于在决策过程中根据一系列约束条件解出 决策准则是指用于选择方案的标准通常有两类： 一类是最优准则,可以把所有方案依某个准则排序；另一类是满意准则,它牺牲了最优性,使问题简化,把所有方案分为几个有序的子集,如“可接受”与“不可接受”,“好的”、“可接受的”、“不可接受的”与“坏的”,3． 几个基本概念 1） 劣解和非劣解劣解：如某方案的各目标均劣于其它目标,则该方案可以直接舍去这种通过比较可直接舍弃的方案称为劣解 非劣解：既不能立即舍去,又不能立即确定为最优的方案称为非劣解非劣解在多目标决策中起非常重要的作用,图13.1 劣解与非劣解,单目标决策问题中的任意两个方案都可比较优劣,但在多目标时任何两个解不一定都可以比较。

如图13.1所示,希望f1和f2两个目标越大越好,则方案A和B、方案D和E相比就无法简单定出其优劣但是方案E和方案I比较,显然E比I劣而对方案I和H来说,没有其它方案比它们更好而其它的解,有的两对之间无法比较,但总能找到令一个解比它们优 I、H这一类解就叫非劣解,而A、B、C、D、E、F、G叫作劣解 如果能够判别某一解是劣解,则可淘汰之如果是非劣解,因为没有别的解比它优,就无法简单淘汰倘若非劣解只有一个,当然就选它问题是在一般情况下非劣解远不止一个,这就有待于决策者选择,对于m个目标,一般用m个目标函数f1(x), f2(x), …, fm(x)刻画,其中x表示方案,而x的约束就是备选方案范围 最优解：设最优解为x*,它满足 fi(x*)≥fi(x) i=1, 2, …, n （13.1） 2） 选好解 在处理多目标决策时,先找最优解若无最优解,就尽力在各待选方案中找出非劣解,然后在非劣解之间权衡,从中找出一个比较满意的方案这个比较满意的方案就称为选好解 ,单目标决策主要是通过对各方案两两比较,即通过辨优的方法来求得最优方案而多目标决策除了需要辨优以确定哪些方案是劣解或非劣解外,还需要通过权衡的方法来求得决策者认为比较满意的解。

权衡的过程实际上就反映了决策者的主观价值和意图 ,13.2 决策方法,13.2.1 化多目标为单目标的方法 1. 主要目标优化兼顾其它目标的方法  设有m个目标f1(x),f2(x),…,fm(x),x∈R均要求为最优,但在这m个目标中有一个是主要目标,例如为f1(x),并要求其为最大在这种情况下,只要使其它目标值处于一定的数值范围内,即 f′i≤fi(x)≤f″ii=2, 3, …, m,就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题： R′={x|f′i≤fi(x)≤f″i, i=2, 3, …, m; x∈R} （13.2） 例13.2 设某厂生产A、B两种产品以供应市场的需要生产两种产品所需的设备台时、原料等消耗定额及其质量和单位产品利润等如表13.2所示在制定生产计划时,工厂决策者考虑了如下三个目标：① 计划期内生产产品所获得的利润为最大；② 为满足市场对不同产品的需要,产品A的产量必须为产品B的产量的1.5倍；③ 为充分利用设备台时,设备台时的使用时间不得少于11个单位表13.2 产品消耗、利润表,显然,上述决策问题是一个多目标决策问题,今若将利润最大作为主要目标,则后面两个目标只要符合要求即可。

这样,上述问题就可变换成单目标决策问题,并可用线性规划进行求解 设x1为产品A的产量,x2为产品B的产量,则将利润最大作为主要目标,其它两个目标可作为约束条件,其数学模型如下： max z=4x1+3.2x2 2x1+4x2≤12(设备台时约束) 3x1+3x2≤12(原料约束) x1-1.5x2=0(目标约束) 2x1+4x2≥11(目标约束) x1, x2≥0 （13.3） ,,2. 线性加权和法  设有一多目标决策问题,共有f1(x),f2(x),…,fm(x)等m个目标,则可以对目标fi(x)分别给以权重系数λi（i=1,2,…,m）,然后构成一个新的目标函数如下：  （13.4） 计算所有方案的F(x)值,从中找出最大值的方案,即为最优方案 在多目标决策问题中,或由于各个目标的量纲不同,或因有些目标值要求最大而有些要求最小,则可首先将目标值变换成效用值或无量纲值,然后再用线性加权和法计算新的目标函数值并进行比较,以决定方案的取舍,3. 平方和加权法  设有m个目标的决策问题,现要求各方案的目标值f1(x),f2(x),…,fm(x)与规定的m个满意值f*1,f*2,…,f*m的差距尽可能地小,这时可以重新设计一个总的目标函数： （13.5） 并要求min F(x),其中λi是第i(i=1, 2, …, m)个目标的权重系数。

,4. 乘除法  当有m个目标f1(x),f2(x),…,fm(x)时,其中目标f1(x),f2(x),…,fk(x)的值要求越小越好,目标fk+1(x),…,fm(x)的值要求越大越好,并假定fk+1(x),…,fm(x)都大于0于是可以采用如下目标函数： 并要求min F(x),（13.6）,5. 功效系数法 设有m个目标f1(x),f2(x),…,fm(x),其中k1个目标要求最大,k2个目标要求最小赋予这些目标f1(x), f2(x),…,fm(x),以一定的功效系数di(i=1, 2, …, m),0≤ di ≤1当第i个目标达到最满意时, di =1；最不满意时, di =0; 其它情形, di则为0、1之间的某个值描述di与fi(x)关系的函数叫作功效函数,用di=F(fi)表示 不同性质或不同要求的目标可以选择不同类型的功效函数,如线性功效函数、指数型功效函数等图13.2所示为线性功效函数的两种类型图13.2(a)所示为要求目标值越大越好的一种类型,即fi值越大, di也越大图13.2（b）为要求目标值越小越好的一种类型,即fi越小, di越大,图13.2 线性功效函数 (a) 目标值愈大愈好的类型；(b) 目标值愈小愈好的类型,记maxfi(x)=fimax, minfi(x)=fimin,若要求fi(x)越大越好,则可设di(fimin) =0,di(fimax)=1,第i个目标的功效系数di的值为  （13.7） 若要求fi(x)越小越好,则可设di(fimin)=1,di(fimax)=0,第i个目标的功效系数di的值为 ,（13.8）,同理,对于指数型功效函数的两种类型,亦可类似地确定di的取值。

 当求出n个目标的功效系数后,即可设计一个总的功效系数,设以 （13.9） 作为总的目标函数,并使得D最大 从上述计算D的公式可知,D的数值介于0、1之间当D=1时,方案为最满意, D=0时,方案为最差另外,当某方案第i目标的功效系数di=0时,就会导致D=0,这样人们也就不会选择该方案了,13.2.2 重排次序法 例13.3 设某新建厂选择厂址共有n个方案m个目标由于对m个目标重视程度不同,事先可按一定方法确定每个目标的权重系数若用fij表示第i个方案的第j个目标的目标值，则可列表如表13.3所示,表13.3 n个方案的m个目标值,（1） 无量纲化为了便于重排次序,可先将不同量纲的目标值fij变成无量纲的数值yij 变换的方法是：对目标fj,如要求越大越好,则先从n个待选方案中找出第j个目标的最大值确定为最好值,而其最小值为最差值即  并相应地规定 fibj→yibj=100 fiwj→yiwj=1 而其它方案的无量纲值可根据相应的f的取值用线性插值的方法求得,对于目标fi,如要求越小越好,则可先从n个方案中的第j个目标中找出最小值为最好值,而其最大值为最差值。

可规定fibj→yibj=1,fiwj→yiwj=100其它方案的无量纲值可类似求得这样就能把所有的fij变换成无量纲的yij (2) 通过对n个方案的两两比较,即可从中找出一组“非劣解”,记作{B},然后对该组非劣解作进一步比较 (3) 通过对非劣解{B}的分析比较,从中找出一个“选好解”,最简单的方法是设一新的目标函数 i∈{B} （13.10）  若Fi值为最大,则方案i为最优方案,13.2.3 分层序列法 分层序列法是把目标按照重要程度重新排序,将重要的目标排在前面,例如已知排成f1(x),f2(x),…,fm(x)然后对第1个目标求最优,找出所有最优解集合,用R1表示,接着在集合R1范围内求第2个目标的最优解,并将这时的最优解集合用R2表示,依此类推,直到求出第m个目标的最优解为止将上述过程用数学语言描述,即,i=1, 2, …, m-1; R0=R,(13.11),这种方法有解的前提是R1,R2,…,Rm-1等集合非空,并且不止一个元素 但这在解决实际问题中很难做到于是又提出了一种允许宽容的方法所谓“宽容”, 是指当求解后一目标最优时,不必要求前一目标也达到严格最优,而是在一个对最优解有宽容的集合中寻找。

这样就变成了求一系列带宽容的条件极值问题,也就是,i=1, 2, …, m-1; R′0=R,(13.12),13.3 多目标风险决策分析模型,多目标风险决策分析模型可表述为： 假设有n个目标,m个备选方案（A1, A2, …, Am）,第i个备选方案Ai面临li个自然状态,这li个自然状态发生的概率分别为pi1, pi2, …, pili；方案Ai在其第k个自然状态下的n个后果值分别为θ (1) ik, θ (2) ik, …, θ (n) ik如图13.3所示,图13.3 多目标风险型决策模型,各方案中各目标的期望收益值分别为,(13.13),这样,便把有限个方案的多目标风险型决策问题转化成为有限方案的多目标确定型决策问题：,（13.14),13.4 有限个方案多目标决策问题 的分析方法,13.4.1 基本结。