通过matlab求二阶全微分方程解析解资料.pdf

1.对于二阶全微分方程对于二阶全微分方程 a，不同的，不同的 a,b,c 取值会求出不同的解析取值会求出不同的解析 解解，，解析解又是由齐次解和特解组成解析解又是由齐次解和特解组成其中其中，，齐次解由特征方程决定齐次解由特征方程决定，，而特解的决定因而特解的决定因 素则比较复杂素则比较复杂 2.对于二阶全微分方程的分析，我们大致分为三种情况：对于二阶全微分方程的分析，我们大致分为三种情况： b^2-4ac0(两个不同的实根两个不同的实根) b^2-4ac=0（两个相同的重根）（两个相同的重根） b^2-4ac0 的情况的情况 STEP1：求解析解：求解析解 s1=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); s2=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); s3=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(2*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); s4=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(5*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); s5=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(13*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); s6=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(25*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); STEP2：绘制图形：绘制图形 （（1）求）求 w=1 情况下的通解和齐次解情况下的通解和齐次解 t=1:0.1:10; s1=4*exp(-t)-2*exp(-2*t) %general solution s2=-3/10*cos(t)+1/10*sin(t)-11/5*exp(-2*t)+9/2*exp(-t) %special solution subplot(2,1,1); plot(t,s2); xlabel('t') ylabel('y(t)') title('general solution ') subplot(2,1,2); plot(t,s1); xlabel('t') ylabel('y(t)') title('special solution') Figure1-1 (2)求通解随求通解随 w 变化的规律变化的规律 .w在（在（0,1）之间的全微分方程通解）之间的全微分方程通解 clc clear all s1=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); l2=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(0.05*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); l3=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(0.15*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); l4=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(0.25*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); l5=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(0.5*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); l6=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(0.75*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); t=1:0.1:10; s1_n = eval(s1); l2_n = eval(l2); l3_n = eval(l3); l4_n = eval(l4); l5_n = eval(l5); l6_n = eval(l6); hold on plot(t,s1_n); plot(t,l2_n,'m*'); plot(t,l3_n,'rx'); plot(t,l4_n,'g^'); plot(t,l5_n,'bp'); plot(t,l6_n,'ko'); hold off .w 在（在（1,+）之间的全微分方程通解）之间的全微分方程通解 t=1:0.1:10; s1=-2*exp(-2*t)+4*exp(-t); s2=-3/10*cos(t)+1/10*sin(t)-11/5*exp(-2*t)+9/2*exp(-t); s3 =-3/20*cos(2*t)-1/20*sin(2*t)-9/4*exp(-2*t)+22/5*exp(-t); s4 =-15/754*cos(5*t)-23/754*sin(5*t)-63/29*exp(-2*t)+109/26*exp(-t); s5=693/170*exp(-t)-39/29410*cos(13*t)-359/173*exp(-2*t)-167/29410*sin (13*t); s6=-1283/629*exp(-2*t)-75/393754*cos(25*t)+2529/626*exp(-t)-623/39375 4*sin(25*t); hold on plot(t,s1); plot(t,s2,'m*'); plot(t,s3,'rx'); plot(t,s4,'g^'); plot(t,s5,'bp'); plot(t,s6,'ko'); hold off 结论：在结论：在b^2-4ac0 的情况下，特解的形式是的情况下，特解的形式是 C1*sint+C2*cost,齐次解的形式是齐次解的形式是 C1*EXP(R1*t)+C2*EXP(R2*t).若若 w 为正值且随为正值且随 w 的增大，通解的形式趋近于齐的增大，通解的形式趋近于齐 次解。

次解 5.b^2-4ac=0 的情况的情况 STEP1：求解析解：求解析解 S1=dsolve('D2y+y=0','y(0)=2,Dy(0)=1','t') S2=dsolve('D2y+y=sin(t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') s3=dsolve('D2y+y=sin(2*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') s4=dsolve('D2y+y=sin(6*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') s5=dsolve('D2y+y=sin(10*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') s6=dsolve('D2y+y=sin(100*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') l0=dsolve('D2y+y=sin(0.05*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') l1=dsolve('D2y+y=sin(0.15*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') l2=dsolve('D2y+y=sin(0.25*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') l3=dsolve('D2y+y=sin(0.5*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') l4=dsolve('D2y+y=sin(0.75*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') STEP2：绘制图形：绘制图形 （（1）） 求求 w=1 情况下的通解和齐次解情况下的通解和齐次解 t=1:0.1:10; s1=2*exp(-2*t)+5*exp(-2*t).*t; s2=54/25*exp(-2*t)+26/5*exp(-2*t).*t-4/25*cos(t)+3/25*sin(t); subplot(2,1,1); plot(t,s1); xlabel('t') ylabel('y(t)') title('homogenious solution') subplot(2,1,2); plot(t,s2); xlabel('t') ylabel('y(t)') title('general solution ') （（2）） (2)求通解随求通解随 w 变化的规律变化的规律 .w在（在（0,1）之间的全微分方程通解）之间的全微分方程通解 t=1:0.1:10; s1=2*exp(-2*t)+5*exp(-2*t).*t; l2=5158402/2563201*exp(-2*t)+8025/1601*exp(-2*t).*t-32000/2563201*cos (1/20*t)+639600/2563201*sin(1/20*t); l3=5273762/2588881*exp(-2*t)+8105/1609*exp(-2*t).*t-96000/2588881*cos (3/20*t)+636400/2588881*sin(3/20*t); l4=8706/4225*exp(-2*t)+329/65*exp(-2*t).*t-256/4225*cos(1/4*t)+1008/4 225*sin(1/4*t); l5=610/289*exp(-2*t)+87/17*exp(-2*t).*t-32/289*cos(1/2*t)+60/289*sin( 1/2*t); l6=11426/5329*exp(-2*t)+377/73*exp(-2*t).*t-768/5329*cos(3/4*t)+880/5 329*sin(3/4*t); hold on plot(t,s1); plot(t,l2,'m*'); plot(t,l3,'rx'); plot(t,l4,'g^'); plot(t,l5,'bp'); plot(t,l6,'ko'); hold off .w在（在（1,+）之间的全微分方程通解）之间的全微分方程通解 t=1:0.1:10; s1=2*exp(-2*t)+5*exp(-2*t).*t; s2=54/25*exp(-2*t)+26/5*exp(-2*t).*t-4/25*cos(t)+3/25*sin(t); s3=3522/1681*exp(-2*t)+215/41*exp(-2*t).*t-160/1681*cos(5/2*t)-36/168 1*sin(5/2*t); s4=350/169*exp(-2*t)+68/13*exp(-2*t).*t-12/169*cos(3*t)-5/169*sin(3*t) ; s5=1702/841*exp(-2*t)+150/29*exp(-2*t).*t-20/841*cos(5*t)-21/841*sin( 5*t); s6=104942/52441*exp(-2*t)+1160/229*exp(-2*t).*t-60/52441*cos(15*t)-22 1/52441*sin(15*t); hold on plot(t,s1); plot(t,s2,'m*'); plot(t,s3,'rx'); plot(t,s4,'g^'); plot(t,s5,'bp'); plot(t,s6,'ko'); hold off 结论：结论：W 属于（属于（0,1）时，随）时，随 w 的增大在齐次解的旁边波动；的增大在齐次解的旁边波动；w 属于（属于（1，，+），随），随 w 的的 增大逐渐趋近于齐次解。

增大逐渐趋近于齐次解 4. b^2-4ac0] s2=dsolve('D2y+Dy+y=sin(t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') s3=dsolve('D2y+Dy+y=sin(2*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') s4=dsolve('D2y+Dy+y=sin(2.5*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') s5=dsolve('D2y+Dy+y=sin(3*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') s6=dsolve('D2y+Dy+y=sin(3.5*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') s7=dsolve('D2y+Dy+y=sin(5*t)','y(0)=2,Dy(0)=1','t') .w在（在（0,1）之间的全微分方程通解）之间的全微分方程通解 .w在（在（1,+）之间的全微分方程通解）之间的全微分方程通解 2.[b0] .w在（在（0,1）之间的全微分方程通解）之间的全微分。