第三节分部积分法讲解知识课件.ppt

第三节由导数公式积分得:分部积分公式或1) v 容易求得 ;容易计算 .分部积分法 第四章 定理一般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑运用分部积分法进行计算:幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 幂函数与指数函数之积 ,指数函数与对数函数之积 , 一个函数难于用其它方法积分 ,两个函数的乘积 .例2. 求解: 令则原式 =例3. 求解: 令则 原式例4. 求解: 令, 则 原式再令, 则故 原式 =说明: 也可设为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 例5解解题技巧:把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为例6. 求解: 令, 则原式 =反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数例7. 求解: 令, 则原式 =例8. 求解: 令则原式令 如果需要，条件又允许，则不定积分的换元法、分部积分法等可以混合起来使用例9. 求解: 令则 原式 =例10. 求解: 令则得递推公式利用递推关系式可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分. 说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,例11. 证明递推公式证:注:或说明:分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例43) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .例12. 已知的一个原函数是求解:说明: 此题若先求出再求积分反而复杂.例13. 求不定积分解法1 先换元后分部令即则故解法2 用分部积分法内容小结 分部积分公式1. 使用原则 :易求出,易积分2. 使用经验 :“反对幂指三” , 前 u 后3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式4. 计算格式 :例14. 求解: 令则可用表格法求多次分部积分例15. 求解: 令则原式原式 =+思考与练习1. 下述运算是否正确？得 0 = 1答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用凑微分法 .2. 求对比 P354 公式(128) , (129)提示:备用题.求不定积分解：方法1(先分部 , 再换元)令则方法2(先换元,再分部)令则故。