§p155.3正定二次型与对称正定矩阵.ppt

1,5.3.1、正(负)定二次型的概念,§5.3 正定二次型与对称正定矩阵,由定义可知，正定矩阵必是半正定矩阵，但是半正定矩阵不一定是正定矩阵2,为正定二次型,为负定二次型,例如,一个二次型既不是半正定的，也不是半负正定的，则称是不定的二次型为半正定二次型为半负定二次型为不定二次型3,定理1 非退化线性变换不改变二次型的正定性，,证明：设A是正定的，,,与定理1等价的有 定理2 合同变换不改变对称矩阵的正定性，,4,5.3.2、正(负)定二次型的判别,定理3 设n元实二次型,的秩为r，正惯性指标为p, 负惯性指标为q，则二次型为 (1) 正定的充要条件是p=n, (2) 负定的充要条件是q=n, (3) 不定的充要条件是0＜p＜r≤n, 0＜q,5,定理4 设A是n阶对称矩阵，则有 (1) A是正定的充要条件是A的特征值全是正数 (2) A是正定的充要条件是A与单位阵合同，,(3) A是正定的，则|A|＞0,6,定理5 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式为正，即,,对称矩阵A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即,7,设二次型,是正定的，对每个k，1≤k≤n,令,,,证明 必要性：,8,定理6 设B是m×n矩阵，则BTB是对称半正定矩阵。

如果B的秩是n，那末BTB还是正定矩阵如果B的秩是n，即B的列向量线性无关，因此当X≠0时，必定有Y=BX≠0，从而有,所以这时BTB是正定矩阵证明：由(BTB)T=BT(BT)T=BTB,可见BTB是对称矩阵所以BTB是半正定矩阵9,正定矩阵具有以下一些简单性质,,,10,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,11,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,12,解,13,例4 设矩阵,判断矩阵A是否为正定，是否为负定?,,解 取向量,14,,,,,所以A不是正定的15,例5 判别二次型,解 二次型的对应矩阵为,,的正定性.,16,,A和2A具有相同的正定性，故判定2A的正定性即可17,,2A的全部顺序主子式都大于0. A正定，f正定.,,18,例6 判断n阶(n≥2)矩阵A是否是正定阵.,19,解法1 顺序主子式：,,,正定,20,解法2 求A的特征值.,得A的特征值为,全大于零. 故A正定.,解法3 见p233例5.3.2,21,例7 设A,B是n阶实对称阵，其中A正定, 试证当实数t充分大时，tA+B也正定.,,仍是对称阵，故存在正交阵R，,证 由A正定，存在可逆阵Q使A=QTQ， 即(QT)-1 AQ-1= (Q-1)T AQ-1=E， 令P=Q-1，则有PTAP=E.,22,使,23,,24,25,2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,5.3.4、小结,1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．,3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法.,。