2024届江苏如皋高三上学期1月诊断测试数学试题（含答案）.pdf

学科网（北京）股份有限公司高三 1 月诊断数学试题第 1页（共 4页）如皋市如皋市 2024 届高三届高三 1 月诊断测试月诊断测试数数 学学 试试 题题2024.1一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的1.抛物线212yx的焦点坐标为（）.A.1,08B.1,02C.10,8D.10,22.在等比数列 na中，182xaa，3281xa a，且前 x 项和121xS，x（）.A.4B.5C.6D.73.已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面，则（）.A.若/m，/n，则/m nB.若m，n，则mnC.若m，mn，则/nD.若/m，mn，则n4.有 5 辆车停放 6 个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（）种停放方法.A.72B.144C.108D.965.已 知ABC的 边 BC 的 中 点 为 D，点 E 在ABC所 在 平 面 内，且32CDCECA ，若ACxAByBE ，则xy（）.A.5B.7C.9D.116.函数 yf x的图象为椭圆2222:10 xyCabxab轴上方的部分，若f st，f s，f st成等比数列，则点,s t的轨迹是（）.A.线段（不包含端点）B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分注意事项（请考生注意事项（请考生作答前作答前认真阅读以下内容）：认真阅读以下内容）：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上4.考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.5.试卷共 4 页，共 19 小题；答题卡共 2 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.命题：马超#ABSQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=#学科网（北京）股份有限公司高三 1 月诊断数学试题第 2页（共 4页）7.已知0,4x，3 5sincos5xx，则3tan4x（）.A.3B.3C.5D.28.双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别是1F，2F，离心率为62，点11(,)P x y是 C 的右支上异于顶点的一点，过2F作12F PF的平分线的垂线，垂足是 M，|2MO，若 C 上一点 T 满足125FT F T，则 T 到 C 的两条渐近线距离之和为（）.A.2 2B.2 3C.2 5D.2 6二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得部分分部分分，有选错的得，有选错的得 0 分分9.已知复数12,z z是关于 x 的方程21022,Rxbxbb 的两根，则（）.A.12zzB.12RzzC.121zzD.若1b，则33121zz10.若函数 22222sinlog sin2coslog cosfxxxxx，则（）.A.f x的最小正周期为B.f x的图象关于直线4x 对称C.f x的最小值为1D.f x的单调递减区间为2,24kk，Zk 11.设 a 为常数，1(0)2f，()()()()()f xyf x f ayf y f ax，则（）.A.1()2f a B.1()2f x 恒成立C.()2()()f xyf x f yD.满足条件的 f x不止一个三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12.集合2R|320,RAxaxxa，若 A 中元素至多有 1 个，则 a 的取值范围是.13.已知圆锥的母线长为 2，则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为.14.函数2238()R2sin13cos2f xxxx的最小值.#ABSQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=#学科网（北京）股份有限公司高三 1 月诊断数学试题第 3页（共 4页）四、解答题：本题共四、解答题：本题共5小题，共小题，共77分分.请在请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）设13()ln122f xaxxx，曲线()yf x在点(1,(1)f处取得极值.（1）求 a；（2）求函数()f x的单调区间和极值.16.（本小题满分 15 分）袋中装有 5 个乒乓球，其中 2 个旧球，现在无放回地每次取一球检验（1）若直到取到新球为止，求抽取次数 X 的概率分布及其均值；（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验 5 次取到新球个数 X 的均值17.（本小题满分 15 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，122ACBBBC，123CBBCAB，且平面ABC 平面11.BC CB（1）证明：平面ABC 平面1ACB；（2）设点 P 为直线 BC 的中点，求直线1AP与平面1ACB所成角的正弦值.18.（本小题满分 17 分）已知抛物线 E：24yx的焦点为 F，若ABC的三个顶点都在抛物线 E 上，且满足0FAFBFC ，则称该三角形为“核心三角形”（1）设“核心三角形 ABC”的一边 AB 所在直线的斜率为 2，求直线 AB 的方程；（2）已知ABC是“核心三角形”，证明：ABC三个顶点的横坐标都小于2.#ABSQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=#学科网（北京）股份有限公司高三 1 月诊断数学试题第 4页（共 4页）19.（本小题满分 17 分）对于给定的正整数 n，记集合123j|(,),1,2,3,nnRx xxxxR jn，其中元素称为一个 n 维向量.特别地，0(0,0,0)称为零向量.设Rk，12(,)nna aaR，12(,)nnb bbR，定义加法和数乘：12(,)nkka kaka，1122(,)nnab abab.对一组向量1，2，(,2)ssNs，若存在一组不全为零的实数1k，2k，sk，使得11220sskkk ，则称这组向量线性相关否则，称为线性无关（1）对3n，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由(1,1,1)，(2,2,2)；(1,1,1)，(2,2,2)，(5,1,4)；(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1).（2）已知，线性无关，判断，是线性相关还是线性无关，并说明理由（3）已知(2)m m个向量1，2，m线性相关，但其中任意1m个都线性无关，证明：如果存在等式11220(,1,2,3,)mmikkkkR im ，则这些系数1k，2k，mk或者全为零，或者全不为零；如果两个等式11220mmkkk ，11220(,1,2,3,)mmiilllkR lR im 同时成立，其中10l，则1212.mmkkklll#ABSQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=#高三 1 月诊断测试 数学参考答案第 1 页 共 4 页如皋市如皋市 2024 届高三届高三 1 月诊断测试月诊断测试数学数学参考答案参考答案2024.01一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.题号12345678答案DBBADAAA二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 1818 分分.全部选对得全部选对得 6 6 分，部分选对得分，部分选对得 3 3 分，有选错得分，有选错得 0 0 分分.题号91011答案ACDBCDABC三、三、填空题：本题共填空题：本题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 1515 分分.题号12131314答案0a 或98a6316 3274913四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 5 小题，共小题，共 7 77 7 分分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13 分）（1）13()ln122f xaxxx，则213()22afxxx，又(1)0f，故可得20a，解得2a；（2）由(1)可知，13()2ln122f xxxx，2(31)(1)()2xxfxx，令()0fx，解得113x，21x，又函数定义域为(0,)，故可得()f x在区间1(0,)3和(1,)单调递减，在区间1(,1)3单调递增.故()f x的极大值为(1)0f，()f x的极小值为1()22ln3.3f16.（15 分）（1）X的可能取值为 1，2，3，3(1)5P X，233(2)5410P X，2 1 31(3)54310P X，故抽取次数 X 的概率分布为：X123P353101103313()123.510102E X （2）每次检验取到新球的概率均为35，故35,5XB，所以3()53.5E X#ABSQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=#高三 1 月诊断测试 数学参考答案第 2 页 共 4 页17.（15 分）（1）证明：因为22ACBC，所以1BC，因为23CAB，所以.6CAB在ABC中，sinsinBCACAB，即12sinsin6B，所以sin1B，即.ABBC又因为平面ABC 平面11BC CB，平面ABC 平面11BC CBBC，AB 平面 ABC，所以AB 平面11.BC CB又1BC 平面11BC CB，所以1ABBC，在1B BC中，12B B，1BC，13CBB，所以2221112cos33BCB BBCB B BC，即13BC，所以1.BCBC而1ABBC，AB 平面 ABC，BC 平面 ABC，ABBCB，所以1BC 平面.ABC又1BC 平面1ACB，所以平面ABC 平面1.ACB（2）在平面 ABC 中过点 C 作 AC 的垂线 CE，以 C 为坐标原点，分别以 CA，CE，1CB所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C，13(,0)22B，(2,0,0)A，1(0,0,3)B，所以13(,0)44P，133(,3)22A，所以15 3 3(,3)44AP ，平面1ACB的一个法向量为(0,1,0)n，设直线1AP与平面1ACB所成的角为，则直线1AP与平面1ACB所成角的正弦值为：#ABSQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=#高三 1 月诊断测试 数学参考答案第 3 页 共 4 页1sin|cosAP，113 3|3 34|.10|252731616AP nnAPn18.（17 分）（1）解：设直线 AB 的方程为2yxt，与24yx联立得2220yyt，480t，得12t，设11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)C xy，则122yy，122y yt，所以12121(2)12xxyytt，由题意知(1,0)F，因为0FAFBFC ，11(1,)FAxy，22(1,)FBxy，33(1,)FCxy，所以123123(3,)(0,0)xxxyyy，所以1231233,0,xxxyyy，所以。