辽宁省沈阳市学校2017-2018学年高一数学暑假作业：必修一集合、函数、基本初等函数 一集合 .pdf

必修一集合、函数、基本初等函数必修一集合、函数、基本初等函数 一、集一、集 合合 一．选择题（共一．选择题（共 12 小题）小题） 1．若集合 A={y|y=2x+2}，B={x|﹣x2+x+2≥0}，则（ ） A．A⊆B B．A∪B=RC．A∩B={2} D．A∩B=∅ 2．已知集合 A={x|0＜x＜2}，集合 B={x|﹣1＜x＜1}，集合 C={x|mx+1＞0}，若 A∪B⊆C， 则实数 m 的取值范围为（ ） A．{m|﹣2≤m≤1}B．{m|﹣≤m≤1}C．{m|﹣1≤m≤}D．{m|﹣≤m≤} 3．设集合 A={x∈Z|（x+1） （x﹣4）=0}，B={x|x≤a}，若 A∩B=A，则 a 的值可以是（ ） A．1B．2C．3D．4 4．已知集合 A={（x，y）|y2＜x}，B={（x，y）|xy=﹣2，x∈Z，y∈Z}，则 A∩B=（ ） A．∅B．{（2，﹣1）} C．{（﹣1，2） ， （﹣2，1）}D．{（1，﹣2） ， （﹣1，2） ， （﹣2，1）} 5．已知集合 A={y|0≤y＜2，y∈N}，B={x|x2﹣4x﹣5≤0，x∈N}，则 A∩B=（ ） A．{1}B．{0，1}C．[0，2）D．∅ 6．已知集合 A={x|x2﹣2x≤0}，B={y|y=log2（x+2） ，x∈A}，则 A∩B 为（ ） A． （0，1）B．[0，1]C． （1，2）D．[1，2] 7．已知 R 是实数集，集合 A={x|22x+1≥16}，B={x|（x﹣1） （x﹣3）＜0，则（∁RA）∩B=（ ） A． （1，2）B．[1，2]C． （1，3）D． （1，） 8．设 A，B 是非空集合，定义 A*B={x|x∈A∪B 且 x∉A∩B}，已知 M={x|0≤x≤3}， N={y|y≤1}，则 M*N=（ ） A． （1，3]B． （﹣∞，0）∪（1，3]C． （﹣∞，3] D． （﹣∞，0]∪[1，3] 9．已知集合 A={1，2，3，…，2017}，B={}．若 B⊆A，且对任 意的 i，j（i∈{1，2，3，4，5}，j∈{1，2，3，4，5}） ，都有|ai﹣aj|≠1．则集合 B 的个数 用组合数可以表示成（ ） A．CB．C．D．C 10．用 C（A）表示非空集合 A 中的元素个数，定义 A*B=，若 A={x|x2﹣ax﹣2=0，a∈R}， B={x||x2+bx+2|=2，b∈R}，且 A*B=2，则 b 的取值范围（ ） A．b≥2或 b≤﹣2B．b＞2或 b＜﹣2C．b≥4 或 b≤﹣4 D．b＞4 或 b＜﹣4 11．设集合 S={1，2，…，2016}，若 X 是 S 的子集，把 X 中所有元素之和称为 X 的“容量”， （规定空集容量为 0） ，若 X 的容量为奇（偶）数，则称 X 为 S 的奇（偶）子集，记 S 的奇 子集个数为 m，偶子集个数为 n，则 m，n 之间的关系为（ ） A．m=n B．m＞nC．m＜nD．无法确定 12．设函数 f（x）=（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为 A，B，若集合 {（x，y）|x∈A，y∈B}对应的平面区域是正方形区域，则实数 a，b，c 满足（ ） A．|a|=4B．a=﹣4 且 b2+16c＞0 C．a＜0 且 b2+4ac≤0 D．以上说法都不对 二．填空题（共二．填空题（共 4 小题）小题） 13．设集合 A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则 A∪B= ． 14．设[x]表示不大于 x 的最大整数，集合 A={x|[x]2﹣2[x]=3}，B={x|2x＞8}，则 A∩B= ． 15．若对任意的 x∈D，均有 f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数 f（x）为函数 f1（x）到函数 f2（x）在区间 D 上的“折中函数”．已知函数 f（x）=（k﹣1）x﹣1，g（x） =0，h（x）=（x+1）lnx，且 f（x）是 g（x）到 h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则 实数 k 的值构成的集合是 ． 16．已知集合 A={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤}，B={（x，y）||x﹣1|+2|y﹣2|≤a}，且 A⊆B，则实数 a 的取值范围是 ． 三．解答题（共三．解答题（共 2 小题）小题） 17．已知函数 f（x）=的定义域为集合 A，函数 g（x）=的定 义域为集合 B． （1）求集合 A、B； （2）若 A∩B=A，求实数 a 的取值范围． 18．已知：集合 M 是满足下列性质的函数 f（x）的全体：在定义域内存在 x0，使得 f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立． （1）函数 f（x）=是否属于集合 M？说明理由； （2）设函数 f（x）=lg∈M，求正实数 a 的取值范围； （3）证明：函数 f（x）=2x+x2∈M． 必修一集合、函数、基本初等函数参考答案必修一集合、函数、基本初等函数参考答案 一、集合一、集合 1.【解答】解：y=2x+2＞2，∴集合 A={y|y=2x+2}=（2，+∞） ． 由﹣x2+x+2≥0，化为 x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2． ∴B={x|﹣x2+x+2≥0}=[﹣1，2]．∴A∩B=∅，故选：D． 2． 【解答】解：由题意，A∪B={x|﹣1＜x＜2}， ∵集合 C={x|mx+1＞0}，A∪B⊆C， ①m＜0，x＜﹣，∴﹣≥2，∴m≥﹣，∴﹣≤m＜0； ②m=0 时，成立；③m＞0，x＞﹣，∴﹣≤﹣1，∴m≤1，∴0＜m≤1， 综上所述，﹣≤m≤1， 故选 B． 3． 【解答】解：由（x+1） （x﹣4）=0，解得 x=﹣1，4． ∴A={﹣1，4}，又 B={x|x≤a}，A∩B=A，则 a 的值可以是 4． 故选：D． 4． 【解答】解：集合 A={（x，y）|y2＜x}，在平面直角坐标系内表示平面区域阴影面积； B={（x，y）|xy=﹣2，x∈Z，y∈Z}，在平面直角坐标系内表示孤立的两组点； 由，求得点 P（，﹣） ；如图所示， 则 x=2，y=﹣1 时满足条件，∴A∩B={（2，﹣1）}．故选：B． 5． 【解答】解：集合 A={y|0≤y＜2，y∈N}={0，1}， B={x|x2﹣4x﹣5≤0，x∈N}={x|﹣1≤x≤5，x∈N}={0，1，2，3，4，5}， 则 A∩B={0，1}．故选：B． 6． 【解答】解：集合 A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}=[0，2]， B={y|y=log2（x+2） ，x∈A}， 由 x∈A，x+2∈[2，4]，可得 log2（x+2）∈[1，2]， 即有 B=[1，2]，则 A∩B=[1，2]．故选：D． 7． 【解答】解：集合 A={x|22x+1≥16}={x|22x+1≥24}={x|2x+1≥4}={x|x≥}， B={x|（x﹣1） （x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，∁RA={x|x＜}， 可得（∁RA）∩B={x|1＜x＜}=（1，） ．故选：D． 8． 【解答】解：M∪N=（﹣∞，3]，M∩N=[0，1]； ∴M*N=（﹣∞，0）∪（1，3]．故选 B． 9． 【解答】解：我们把任意四对相邻的两个数看作四个数队，其余的数组成一个数队．从 上述 5 个数对种各选一个数，必然不相邻．也就是满足：|ai﹣aj|≠1．∴共可以组成上述 的数对有 2013 种情形， ∴集合 B 的个数用组合数可以表示成．故选：B． 10． 【解答】解：∵A*B=2，C（A）=2 ∴C（B）=0 或 4；∴|x2+bx+2|=2，当 b=0 时，方程只有 1 解， 故 b≠0，∴x2+bx+2=2 有 2 个解故 x2+bx+2=﹣2 即 x2+bx+4=0 不同的解， ∴△=b2﹣4×4＞0，∴b＞4 或 b＜﹣4．故选 D． 11． 【解答】解：集合 S 的子集可以分为两类：A 含有 1 的子集，B 中不含有 1 的子集，这 两类子集个含有 22015个，而且对于 B 类中的任意子集 T，必在 A 类中存在唯一一个子集 T∪{1}与之对应，且若 T 为奇子集，则 T∪{1}是偶子集；若 T 为偶子集，则 T∪{1}是奇子 集．∴B 类中有 x 个奇子集，y 个偶子集，则 A 类中必有 x 个偶子集，y 个奇子集，∴S 的 奇子集与偶子集的个数相等． 故 S 的奇子集与偶子集个数相等，m=n．故选：A． 12． 【解答】解：设 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于两点（x1，0） ， （x2，0） ，a＜0．则 ，x1x2=． ∴|x1﹣x2|===． 由题意可得：，由=，解得 a=﹣4． ∴实数 a，b，c 满足 a=﹣4，△=b2+16c＞0，故选：B． 二．填空题（共二．填空题（共 4 4 小题）小题） 13． 【解答】解：集合 A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得 a+2=3，解得 a=1，即 B={3，5}，则 A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}． 14． 【解答】解：由[x]2﹣2[x]=3，解得：[x]=3 或[x]=﹣1， 故 2＜x≤3 或﹣2＜x≤﹣1，∴A=（2，3]∪（﹣2，﹣1]， 而 B={x|2x＞8}={x|x＞3}，故 A∩B=∅．故答案为：∅． 15． 【解答】解：根据题意，可得 0≤（k﹣1）x﹣1≤（x+1）lnx 在 x∈[1，2e]上恒成 立．当 x∈[1，2e]时，函数 f（x）=（k﹣1）x﹣1 的图象为一条线段， 于是，，解得 k≥2． 另一方面，在 x∈[1，2e]上恒成立． 令=，则． 由于 1≤x≤2e，所以，于是函数 x﹣lnx 为增函数， 从而 x﹣lnx≥1﹣ln1＞0，所以 m′（x）≥0，则函数 m（x）为[1，2e]上的增函数．所以 k﹣1≤[m（x）]min=m（1）即 k≤2．综上，k=2．故答案为：{2}． 16． 【解答】解：令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n， （m≥0，n≥0） ， 根据集合 A 得，m2+n2≤，根据集合 B 得，m+2n≤a，∵A⊆B， ∴a≥（a+2b）max，构造辅助函数 f（m）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣） f（n）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣） ，∴f′（m）=1+2λm， f′（n）=2+2λn，令 f′（m）=1+2λm=0，f′（n）=2+2λn=0， 得到 m=﹣，n=﹣，∵m2+n2=，∴λ=±1，∵m≥0，n≥0， ∴λ=1，∴m=，n=1 时，m+2n 有最大值，∴a≥（m+2n）max=+2=， ∴a≥，故答案为：a≥． 三．解答题（共三．解答题（共 2 2 小题）小题） 17． 【解答】解：（1）， x2﹣（2a+1）x+a2+a≥0⇒x≥a+1 或 x≤a ∴A=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞） ，B=（﹣∞，a]∪[a+1，+∞）…（6 分） （2）…（12 分） 18． 【解答】解：（1）f（x）=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） ， 令，整理得 x2+x+1=0，△=﹣3＜0， 因此，不存在 x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞） ，使得 f（x+1）=f（x）+f（1）成立，所以 f（x）=； （4 分） （2）f（x）=lg的定义域为 R，f（1）=lg，a＞0， 若 f（x）=lg∈M，则存在 x∈R 使得 lg=lg+lg， 整理得存在 x∈R 使得（a2﹣2a）x2+2a2x+（2a2﹣2a）=0． ①若 a2﹣2a=0 即 a=2 时，方程化为 8x+4=0，解得 x=﹣，满足条件： ②若 a2﹣2a≠0 即 a∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）时， 令△≥0，解得 a∈[3﹣，2）∪（2，3+]， 综上，a∈[3﹣，3+]； （8 分） （3）f（x）=2x+x2的定义域为 R， 令 2x+1+（x+1）2=（2x+x2）+（2+1） ，整理得 2x+2x﹣2=0， 令 g（x）=2x+2x﹣2，所以 g（0）•g（1）=﹣2＜0， 即存在 x0∈（0，1）。